Лабораторная работа №12. Тема: Интерполирование функций.
Линейная интерполяция.
Пример 1: используя линейную
интерполяцию, вычислить значения
функции заданных значений аргумента.
при
х=0,1662.
Решение: Вычислим, используя функцию Excel, несколько значений Sin(x) и таблицу разностей первого и второго порядков (таблица 12.1):
Таблица 12.2
x |
sin(x) |
|
|
0,63 |
0,5891 |
0,0081 |
-0,0001 |
0,64 |
0,5972 |
0,0088 |
-0,0001 |
0,65 |
0,6052 |
0,0079 |
-0,0001 |
0,66 |
0,6131 |
0,0079 |
-0,0001 |
0,67 |
0,6210 |
0,0078 |
|
0,68 |
0,6288 |
|
|
На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что первого порядка практически постоянны, а также выполняется соотношение
Действительно.
.
При вычислении пользуемся формулой
,
Где g=
- шаг интерполяции
- ближайшее меньшее
Н=0,64-0,63=0,01.
Если x=0,6682, то примем
(берем ближайшее меньшее).
Эта строка будет нулевой, т.е
.
Тогда
Ответ: sin(0,6682)=0,6196
Реализация в среде Excel.
Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 12.1
В ячейку А8 вносим значения х.
Вычисляем первые интерполяционные
разности
D2=B3-B2 ……….. Копируем эту формулу в ячейки D4,D5,D6.
Вычисляем вторые интерполяционные
разности
E2=D3-D2 ……….. Копируем эту формулу в ячейки Е4,Е5.
Теперь проверяем выполнение условия
ЯчейкеI2 присваиваем значение 0,0001.
В ячейку G2 вносим формулу
для вычисления
G2-(1/8)*MAKCA(ABS(E2))
В ячейке H2 определяем знак
H2=ЕСЛИ(G2<12;”<”;”>”)
(берем ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.
Определяем h
D9=A3-A2=0,01
Определяем g
D10=(A8-A5)/D9=0,82
Теперь непосредственно определяем значение f(x)=y(x) при x=0,6682
D11=B5+D10*D5=0,6196.
Ответ: sin(0,6682)=0,6196.
Пример 2: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции y(x) при заданных значениях аргумента. Y(x)=cos(x) при x=0,3033.
Решение: Вычислим, используя функции Excel несколько значений cos(х) и составим таблицу разностей первого и второго порядков: (рисунок 12.3)
x |
cos(x) |
|
|
0,27 |
0,9638 |
-0,0027 |
-0,0001 |
0,28 |
0,9611 |
-0,0028 |
-0,0001 |
0,29 |
0,9582 |
-0,0029 |
-0,0001 |
0,3 |
0,9553 |
-0,0030 |
-0,0001 |
0,31 |
0,9623 |
-0,0031 |
|
0,32 |
0,9492 |
|
|
Рисунок 12.3
Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение
(т.к 1/8-0,0001), указывает на возможность применения линейной интерполяции.
При вычислении пользуемся той же формулой
Где
- шаг интерполяции.
- ближайшее меньшее
Н=0,29-0,28=0,01
Если х=0,3033, то примем
(берём ближайшее меньшее).
Эта строка будет нулевой, т.е.
.
Тогда g =(0,3033)=0,9553+0,33*(-0,0030)=0,9543
Ответ: cos(0,3033)=0,9543
Реализация в среде Excel.
Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 12.4
Рисунок 12.4
Все вычисления производим аналогично вычислением, выполненным в примере лабораторной работы. В результате получаем ответ cos(0,3033)=0,9543
Ответ: cos(0,3033)=0,9543
Квадратичная интерполяция.
Пример: используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции заданных значениях аргумента.
Условия задачи:
x |
y |
1,527 |
22,818 |
1,528 |
23,352 |
1,529 |
23,911 |
1,530 |
24,498 |
1,531 |
25,115 |
1,532 |
25,763 |
x= 1,5306
Решение: составим таблицу разностей первого, второго и третьего порядков.
x |
y |
|
|
|
1,527 |
22,818 |
0,534 |
0,025 |
0,003 |
1,528 |
23,352 |
0,559 |
0,028 |
0,002 |
1,529 |
23,911 |
0,587 |
0,030 |
0,001 |
1,530 |
24,498 |
0,617 |
0,031 |
|
1,531 |
25,115 |
0,648 |
|
|
1,532 |
25,763 |
|
|
|
В этой таблице разности второго порядка
практически постоянны, кроме того,
справедливо соотношение
(т.к. (1/15)*0,003<0,001; 0,0002<0,001). Все это
указывает на возможность применения
квадратичной интерполяции.
Для вычисления воспользуемся формулой:
,
Где
- шаг интерполяции
- ближайшее меньшее.
Если x=1,5306, то =1,530 (берём ближайшее меньшее).
Эта строка будет нулевой строкой, т.е.
,
,
.
G=(1,5306-1,530)/0,001=0,6/
Тогда y=24,498+0,6*0,617+
*0,031=24,8645
Ответ: 24,8645.
Реализация в среде Excel.
Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 12.6
Рисунок 12.6
Вычисляем первые интерполяционные разности
D2=B3-B2 ……… Копируем эту формулу в ячейки D3,D4,D5,D6.
Вычисляем вторые интерполяционные разности
E2=D3-D2 ……… Копируем эту формулу в ячейки E3,E4,E5.
Вычисляем третьи интерполяционные разности
F2=E3-E2 ……… Копируем эту формулу в ячейки F3,F4.
Теперь проверяем выполнение условия
Ячейке J2 присваиваем значение 0,001.
В ячейку Н2 вносим формулу для вычисления
H2=(1/15)* MAKC (ABS(F2:F4))
(берём ближайшее меньшее). Эта строка
(5 строка) будет нулевой.
Определяем h
D9=A3-A2=0,001
Определяем g
D10=(A8-A5)/D9=0,6
Теперь непосредственно определяем значение у(х) при х=1,5306
D11=B5+D10*D5+((D10*(D10-1))*E5=24,8645.