4.Метод квадратных корней.
Пример: Найти решение системы, используя метод квадратных корней
4,25х -1,48х +0,73х =1,44
-1,48х +1,73х -1,85х =2,73
0,73х +-1,85х +1,93х = -0,64
Решение: Вычисления производим по следующей схеме
Коэффициенты при неизвестных |
Свободные члены |
|
||
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
|
4,25 -1,48 0,73 |
-1,48 1,73 -1,85 |
0,75 -1,85 1,93 |
1,44 2,73 -0,64 |
А |
2,0616 |
-0,7179 |
0,3541 -1,4480 0,5403 |
0,6985\2,9321 -6,2149 |
Т |
|
1,1021 |
|||
|
||||
-2,0214 |
-12,4508 |
-11,5017 |
|
|
Рисунок 9.5
Для получения матрицы Т используют следующие формулы:
t
=
,
t
=
,
где j>1 y
=
t
=
,
где 1<i≤n y
=
,
i>1
t
=
,
где i>j
t =0 при i>j
Т.е. t
=
,
t
=
,
t
=
t
=
,
t
=
-
t
=
,
t
=0,
t
=0,
t
=0
Корни уравнения определяем аналогично предыдущему примеру
Реализация данного метода системы как показано на рисунке 9.6
Рисунок 9.6
Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5.
Затем вычисляем матрицу Т:
А6=КОРЕНЬ(А3)
B6=B3/A6; C6=C3/A6; D6=D3/A6;
B7=КОРЕНЬ(B4-B6^2);
C7=(C4-B6*C6)/B7; D7=(D4-B6*D6)/B7;
C8=Корень (-(С5-С6:2-С7:2)), ставим в корне перед скобкой минус т.к. под корнем отрицательное положение
D8= - (D5-C6*D6-C7*D7)/C8, ставим перед формулой знак минус т.к. в этой строке в подкоренном выражении мы меняем знак.
И в завершении определяем корни уравнения аналогично предыдущему примеру:
C9=D8/C8;
B9=(D7-C7*C9)/B7;
A9=(D6-C6*C9-B6*B9)/A6
Задания для самоконтроля: Найти решение системы, используя:
метод главных элементов
0,64х-0,83х+4,2х=2,23; 1,26х-2,34х+1,17х=3,14
А) 0,58х-0,83х+1,43х=1,71; Б) 0,75х+1,24-0,48х=-1,17
0,86х+0,77х+0,88х=-0,54; 3,44х-1,85х+1,16х=1,83
Метод квадратных корней
2,44х-1,16х+0,83х=0,65
1,63х+1,27х-0,84х=1,51
А) -1,16х+3,45х+0,57х=1,88 Б) 1,27х+1,65х+1,27х=-0,63
0,83х+0,57х-1,71х=0,74 -0,84х+1,27х-1,21х=2,15
Лабораторная работа №10
Тема: Решение систем линейных уравнений
12. Метод итерации
Пример: Методом итерации решить систему с точностью до 0,001
х =0,32х -0,05х +0,11х -0,08х +2,15
х =0,11х -0,16х -0,28х -0,06х -0,83
х =0,08х -0,15х +0,02х +1,16
х =-0,21х +0,13х -0,27х +0,44
Решение: Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):
х
=2,15;
х
=-0,83;
х
=1,16;
х
=0,44;
Подставляя эти значения в правые части уравнения системы, получаем первые приближения корней:
х
=0,32*2,15-0,05*(-0,83)+0,11*1,16-0,08*0,44+2,15=2,9719
х
=0,11*2,15+0,16*(-0,83)-0,28*1,16-0,16*0,44-0,83=-1,0775
х
=0,08*2,15-0,15*(-0,83)+0,12*0,44+1,16=1,5093
х
=-0,21*2,15+0,13*(-0,83)-0,27*1,16+0,44=
-0,4326
х =2,9719; х =-1,0775; х =1,5093; х =-0,4326.
Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем вторые приближения корней:
х
=
0,32*2,9719-0,05*(-1,0775)+0,11*1,5093-0,08*(-0,4326)+2,15=3,3555
х
=0,11*2,9719+0,16*(-1,0775)-0,28*1,5093-0,06*(-0,4326)-0,83=-1,0721
х
=0,08*2,9719-0,15*(-1,0775)+0,12*(-0,4326)+1,16=1,5075
х
=
-0,21*2,9719+0,13*(-1,0775)-0,27*1,5093+0,44= -0,7317
х =3,3555; х =-1,0721; х =1,5075; х = -0,7317;
Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем третьи приближения корней и т.д. до тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001, т.е.
|x
-x
|<=0.001;
|x
-x
|<=0.001;
|x
-x
|<=0.001;
|x
-x
|<=0.001;
Реализация данного метода в среде Excel
Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 10.1
Рисунок 10.1
Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки А3:Е6. В ячейки блока G3:G6 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки длока A10:D10 записываем последующие приближения:
Для х : A10=$A$3*A9+$B$3*B9+$C$3*C9+$d$3*D9+$E$3;
Для х : B10=$A$4*A9+$B$4*B9+$C$4*C9+$d$4*D9+$E$4;
Для х : С10=$A$5*A9+$B$5*B9+$C$5*C9+$d$5*D9+$E$5;
Для х : D10=$A$6*A9+$B$6*B9+$C$6*C9+$d$6*D9+$E$6;
Затем копируем данные формулы:
A10 в A11; B10 в B11; C10 в C11; D10 в D11;
Проделываем эти операции до тех пор пока |x -x |<=0.001; |x -x |<=0.001;
|x -x |<=0.001; |x -x |<=0.001;
Данная разность вычисляется в ячейках блока F9:I9
Для х : F9=ABS(A10-A9);
Для х : G9=ABS(B10-B9);
Для х : H9=ABS(C10-C9);
Для х : I9=ABS(D10-D9);
Затем копируем данные формулы: F9 в F10; G9 в G10; H9 в H10; I9 в I10 и т.д.
Ответ: х =3,571; х = -0,957; х =1,489; х = -0,836;