3.Метод главных элементов.

Пример: Найти решение систем, используя метод главных элементов.

2,74x – 1,18x + 3,17x = 2,18;

1,12x + 0,83x - 2,16x = -1,15;

0,18x + 1,27x + 0,76x = 3,23.

Решение: Вычисления производим по следующей схеме(рис.9.1)

	m(j)	коэффициенты при неизвестных			Свободные члены
		x1	x2	x3
1	-1 0,6814 -0,2397	2,74 1,12 0,18	-1,18 0,83 1,27	3,17	2,18 -1,15 3,23
				-2,16 0,76
2	-1 0,1597	2,9870	0,0260 1,5529		0,3354 2,7074
		-0,4769
3			1,5570		2,7609
		0,0969	1,7732	1,2640

Рисунок 9.1

Выберем нулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов любой элемент, например 3,17(элемент а ), которой называется главным элементом, а соответствующая строка – главной строкой. Вычислим m = -(а /а ), т.е.

1. m = -(3,17/3,17) = -1;

m = -(-2,16/3,17) = 0,6814;

m = -(0,76/3,17) = -0,2397.

Теперь к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу, в которой третий столбец состоит из одних нулей (рис.9.2):

(а )2,9870	(а )0,0260 (а )1,5529	0 0	0,3354 2,7074
(а )-0,4769

Рисунок 9.2

Т.Е. а =m *a + a =0,6814*2,74 + 1,12 = 2,9870;

а =m *a + a = -0,2397*2,74 + 0,18 = -0,4769;

а =m *a + a =0,6814* -1,18 + 0,83= 0,0260;

b =m *b + b =0,6814*2,18 + -1,15 = 0,3354;

b =m *b + b = -0,2397*2,18+3,23= 2,7074.

Теперь опять выбираем главный элемент, например 2,9870 (элемент а ) и вычислим m

2. m = -(2,9870/2,9870)= -1;

m = -(-0,4769/2,9870)= 0,1597.

Теперь ко второй неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу (3), в которой первый столбец также состоит из одних нулей (рис.9.3):

0

1,5570

0

2,7609

Рисунок 9.3

Т.Е. а =m *a + a =0,1597*0,0260+ 1,5529= 1,5570;

b =m *b + b =0,1597*0,3354+ 2,7074= 2,7609.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

1. находим х т.к. последний разрешающий элемент находится в столбце х .

х = b /a = 2,7609/1,5570= 1,7732.

2) находим х т.к. предпоследний разрешающий элемент находится в столбце х .

х = (b -a *x )= (0,3354 -0,0260*1,7732)/2,9870= 0,0969.

3) находим х т.к. первый разрешающий элемент находится в столбце х .

х = (b -a *x -a *x )/a = 2,18- (-1,18)*1,7732- 2,74*0,0969= 1,2640.

Ответ: х = 0,097;

х = 1,773;

х = 1,264.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 9.4.

Рисунок 9.4.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока В3:Е5. Выбираем главный элемент – 3,17(ячейка D3). В ячейки блока А3:А5 записываем формулы для вычисления m :

Для получения системы двух уравнений с двумя неизвестными выполняем следующие действия:

B6= A4*B3+B4; C6= A4*C3+C4; E6= A4*E3+E4;

B7= A5*B3+B5; C7= A5*C3+C5; E7= A5*E3+E5;

Выбираем главный элемент – 2,9870(ячейка В6). Теперь вычисляем m для этой системы:

А6= -(В6/В6);

А7= -(В7/В6).

Для получения уравнения с одним неизвестным выполняем следующие действия:

С8=А7*С6+С7; Е8=А7*Е6+Е7.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

х : С9=Е8/С8ж

х : В9=(Е6-С6*С9)/В6;

х : D9=(E3-C3*C9-B3*B9)/D3.

Ответ: х = 0,097; х = 1,773; х = 1,264.