1. Метод Крамера.
Пример: Найти решение следующей системы линейных уравнений, используя метод Крамера.
-х
+х
+х
+х
=4;
2х +х +2х +3х =1;
3х +х +х +2х =1;
4х +3х +2х +х = -5.
Решение: Метод Крамера заключается в следующем:
Для начала вычисляем главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных
-1 1 1 1
∆ = 2 1 2 3 = -20
3 2 1 2
4 3 2 1
2) Теперь определяем дополнительные определители.
∆х (заменяем первый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)
4 1 1 1
∆х = 1 1 2 3 = 40
1 2 1 2
-5 3 2 1
∆х (заменяем второй столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)
-1 4 1 1
∆х = 2 1 2 3 = -40
3 1 1 2
4 -5 2 1
∆х (заменяем третий столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)
-1 1 4 1
∆х = 2 1 1 3 = 60
3 2 1 2
4 3 -5 1
∆х (заменяем третий столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)
-1 1 1 4
∆х = 2 1 2 1 = -60
3 2 1 1
4 3 2 -5
Затем по формулам Крамера определяем корни уравнения
х =∆х /∆=40/-20= -2
х =∆х /∆= -40/-20=2
х =∆х /∆=60/-20= -3
х =∆х /∆= -60/-20=3
Реализация метода Крамера в среде Excel.
Коэффициенты исходной системы внесём в ячейки блока А3:Е6(рис. 8.1). В ячейках блока А9:D12 заносим значения определителя ∆х . В ячейках блока А15:D18 заносим значения определителя ∆х . В ячейках блока А21:D24 заносим значения определителя ∆х . В ячейках блока А27:D30 заносим значения определителя ∆х .
В ячейку G3 вводим формулу = МОПРЕД(А3:D6) (рис.8.2) для вычисления главного определителя. В строке Массив записываем массив значений для вычислений определителя.
Аналогично определяем значения вспомогательных определителей:
∆х : H3=МОПРЕД(А9:D12) ∆х = 40
∆x :I3=МОПРЕД(А15:D18) ∆x = -40
∆x :J3=МОПРЕД(А21:D24) ∆x = 60
∆x :K3=МОПРЕД(А27:D30) ∆x = -60
После этого в ячейку Н7 вводим формулу = Н3/G3 для вычисления первого корня системы х =∆х /∆, которую копируем в ячейки I7:К7.
Рисунок 8.1
Рисунок 8.2
2.Метод Гаусса.
Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения неизвестных. В результате чего система сводится к треугольному виду.
Пример: Найти решение системы
линейных уравнений, используя метод
Гаусса.
5х+8у-z= -7;
x+2y+3z= 1;
2x-3y+2z= 9.
Решение: Разделим первое уравнение на коэффициент при х (5), получим ведущее уравнение.
x+1,6y-0,2z= -1,4
Вычтем из второго уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед х второго уравнения (1). Вычтем из третьего уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед ч третьего уравнения (2). Получим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными:
(2-1,6)у + (3+0,2)z = (1+1,4);
0,4у + 3,2z = 2,4;
(-3-3,2)у + (2+0,4)z = (9+2,8); -6,2у + 2,4z = 11,8.
Вновь разделим первое уравнение полученной системы на коэффициент при у (0,4), получим ведущее уравнение
у + 8z = 6
Вычтем из второго уравнения полученной системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед у второго уравнения (-6,2). Получим одно уравнение с одним неизвестным
52z = 49, которое приводим к виду z = 0,942308, разделив обе части уравнения на коэффициент 52.
Зная значение последнего корня z, переходим к ведущему уравнению у + 8z = 6, из которого находим у = 6 – 8z = 6 - 8*0,942308= -1,53846.
А затем из первого ведущего уравнения х + 1,6у – 0,2z = -1,4 находим последний корень х = -1,4 – 1,6у + 0,2z = -1,4 – 1,6*(-1,53846) + 0,2*0,942308 = 1,25.
Реализация метода Гаусса в среде Excel.
Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 8.3
Рисунок 8.3
После этого в ячейку А6 вводим формулу =А3/$А3 для вычисления коэффициентов первой разрешающей строки, копируем эти формулу в ячейки всей строки. Далее, в ячейку В7 вводим формулу =B4-$A4*B$6 для вычисления коэффициентов полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Копируем данную формулу на все ячейки блока B7:D8. В ячейку В9 вводим формулу =В7/$B7 для вычислений коэффициентов второй разрешающей строки. В ячейку С10 вводим =С8-$B8*C$9 и копируем её в ячейку D10. в ячейку С11 вводим формулу =C10/$C10 и копируем её в ячейку D11.
В ячейке D11 получено значение корня уравнения z = 0,942308. Для нахождения остальных корней системы оформим блок решения системы G4:I4 – в ячейку I4 копируем содержимое ячейки D11, в ячейку Н4 вводим формулу =D9-C9*I4, а в ячейку G4=D6-B6*H4-C6*I4.
Задания для самоконтроля: Найти решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса
x + 2y + z = 4; 3x + 2y + z = 5;
а) 3x – 5y + 3z = 1; б) 2x + 3y + z = 1;
2x + 7y – z = 8. 2x + y + 3z = 11.
4 x - 3y + 2z = 9; 2x - y - z = 4;
в) 2x + 5y - 3z = 4; г) 3x + 4y - 2z = 11;
5x + 6y – 2z = 18. 3x - 2y + 4z = 11.
Лабораторная работа №9.
Тема: Решение систем линейных уравнений.