Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

4.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Лабораторная работа №2 Тема: Погрешности результата

Задание 1:

Вычислить и определить погрешности результата

Х= , где m=28.3(±2,02),n=7,45(±0,01),k=0,678(±0,003)

Решение: для начала необходимо определить m ,n и . Получаем:

m =(28,3) =800,9; n =(7,45) =413,5; =1,8234;

Далее определяем Х без учета абсолютных погрешностей: Х= =402,200

Теперь определяем предельные относительные погрешности для m,n и k:

δ =0,02/28,3=0,00071; δ =0,01/7,45=0,00134; δ =0,003/0,678=0,00442

Получив эти данные, определим погрешность результата:

δ =2 δ +3 δ +0,5 δ , где 2 δ т.к по условию дано m , 3 δ т.к. по условию дано n , 0,5 δ т.к. по условию дано k

Таким образом, δ =2 δ +3 δ +0,5 δ =2*0,00071+3*0,00135+0,5*0,00443=

=0,00142+0,00405+0,00222=0,00769=0,77%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆ =Х* δ =402,200*0,0077=3,096994.

Ответ: Х=402,200(±3,097); δ =0,77%

Задание 2:

Вычислить и определить погрешности результата:

N= , где n=3,0567(±0,0001), m=5,72(±0,02)

Для начала находим

n-1 =2,0567(±0,0001) (2,0567 получается из 3,0567-1),

m+n=5,72(±0,02)+3,0567(±0,0001)=8,7767(±0,0201),

m-n=5,72(±1,02)-3,0567(±0,0001)=2,6633(±0,0201) (погрешности складываются)

Далее определяем N без учета абсолютных погрешностей:

N= = =2,545≈2,55;

Теперь определим предельные относительные погрешности для (n-1),(m+n) и (m-n) .

δ =0,0001/2,0567=0,000049;

δ =1,0201/8,7767=0,0023;

δ =0,0201/2,6633=0,0075, откуда определим погрешность результата:

δ = δ + δ + 2δ ,здесь 2δ т.к. по условию дано (m-n)

∆ = δ + δ +2δ =0,000049+0,0023+2*0,0075=0,0173=1,74%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆ = N* δ =2,55*0,0173=0,044

Ответ: N ≈2,55(±0,044); δ =1,74%

Автоматический поиск погрешностей результата

Для автоматического поиска погрешностей результата начертите следующую таблицу в Excel т.к. показано на рис.2.1

Рис.2.1. Автоматический поиск погрешностей результата

Определяем m :Ячейка F5=В5^2.

n : Ячейка F6=В6^3.

: Ячейка F7=КОРЕНЬ(В7).

Далее определяем X без учета абсолютных погрешностей: Ячейка В10= (F5*F6)/F7.

Теперь определим предельные относительные погрешности для

m: Ячейка С12=С5/В5.

n: Ячейка С13=С6/В6.

k: Ячейка С14=С7/В7.

Откуда определим погрешность результата δ : Ячейка С15=2*С12+3*С13+0,5*С14.

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата ∆ : Ячейка С16=В10+С15.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

а) X= , a=228,6(±0,06),b=86,4(±0,02),c=68,7(±0,5).

Б) X= , m=4,22(±0,004), a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005)/

2. а) X= , a=3,845(±0,04),b=16,2(±0,05),c=10,8(±0,1).

Б) X= , a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,005), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008).

3. a) X= , a=3,456(±0,002),b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004).

Б) X= , a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006).

Лабораторная работа №3. Тема: Отделение корней. Метод проб.

Задание 1. отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. х -x -2x +3x-3=0

Решение: Полагаем, что f(x)= х -x -2x +3x-3. Определим f(x), а затем найдем корни уравнения.

F(x) = х -x -2x +3x-3=0

4x(x -1)-3(x -1) =0

(x -1)(4x-3)=0

1) (x -1)=0 2) (4x-3)=0

x = 1 x =3/4

x = -1

x = 1

Составим таблицу знаков функции f(x) (табл.3.1):

Таблица 3.1

Таблица знаков функции

x	-∞	-1	3/4	1	+∞
Знак функции f(x)	+	-	-	-	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: x € [-∞;-1];x € [1;+∞]

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Определение промежутков, содержащих корни уравнения

x	-2	-1	1	2
Знак функции f(x)	+	-	-	+
	a	b	-	+

Следовательно, x € [-2;-1];x € [1;2].

Уточним один из корней, например на промежутке [-2;-1], методом проб до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

если в столбце f(x ) отрицательное число, то полученное число x =… заносится в столбец, где a или b отрицательны;
если в столбце f(x ) положительное число, то полученное число x =… заносится в столбец, где a или b положительны.

Знак a и b определяется из таблицы 3.2 знаков функции. В нашем случае a имеет знак “+”, т.е. a , а b имеет знак “-‘, т.е. b ).

Таблица 3.3

Таблица решения уравнения

N	a	b	X =	f(x )	\|a -b \|
0	-2	-1	-1,5	-3,5625	1
1	-2	-1,5	-1,750	0,3633	0,5
2	-1,750	-1,5	-1,625	-1,8923	0,25
3	-1,750	-1,625	-1,688	-0,8432	0,125
4	-1,750	-1,688	-1,719	-0,2555	0,062
5	-1,750	-1,719	-1,735	0,0488	0,031
6	-1,735	-1,719	-1,727	-0,0998	0,016
7	-1,735	-1,727	-1,731	-0,0208	0,008

Вычисляем до тех пор, пока |a -b |≤0.01

Ответ:х≈-1,73 (взяли меньшее)

Реализация этого метода в MS Exсel осуществляется следующим образом (Рис. 3.1)

Здесь вычисляемыми являются столбцы Н (т.е. х = ). I(т.е. f(х )), J(т.е. |a -b |)

H9=(F9+G9)/2 и аналогично для остальных a и b .

I9=H9^4- H9^3-2* H9^2+3* H9-3 и аналогично для остальных х

J9=ABC(F9-G9) и аналогично для остальных a и b .

Затем в зависимости от того является ли f(x ) положительным или торицательным числом, записываем x в a или в b

Рисунок 3.1

Задания для самоконтроля. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01.

Вариант 1.

1. 2x -9x -60x+1=0;

2. 3x +8x +6x -10=0;

3. 3x -8x -18x +2=0.

Вариант 2.

2x +8x +8x -1=0;
x +4x -8x -17=0;
3x +4x -12x +1=0.

Лабораторная работа №4.

Тема: Отделение корней. Метод хорд.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

x -0,2x +0,5x+1,5=0

Решение: Полагаем, что f(x)= x -0,2x +0,5x+1,5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения.

f’(x)=3x -0,4x+0,5=0

D=b -4ac=0,16-4*3*0,5=0,16-6= -5,84

D<0, следовательно непосредственно корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f(x)=0. Возьмем любую точку, например, x=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

X	-∞	-1	0	1	+∞
Sign f(x)	-	-	+	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f’(x)=6х-0,4; в промежутке [-1;0] выполняется неравенство f”(x)<0. Подставляем интервал [-1;0] в функцию f”(x) и f(x) и находим при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

F”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е. при х = -1 знаки f”(x) и f(x) совпадают

Следовательно, а = -1 – неподвижная точка

х = 0 – подвижная точка

Для вычислений применяем формулу

х = а - *(x -a)

Все вычисления располагаем в таблице:

N	x	x
0	x =0	-0,882
1	x = -0,882	-0,943
2	x = -0,943	-0,946
3	x = -0,946	-0,946

a=-1; f(-1)=-1+0,2-0,5+1,5= -0,2

x =0; f(0)=0-0+0+1,5=1,5

x =0

х =а - *(x -a)= -1- *(0-(-1))= -1- *(0+1) = -0,882

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0,882-(-1)) = -1- * 0,118= -0,943

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0,943-(-1)) = -1- * 0,057 = -0,946

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0,946-(-1)) = -1- * 0,054 = -0,946

|x -x | = |-0,946-(-0,946)| = 0 ≤ 0,001

Вычисляем до тех пор, пока |x -x | ≤ 0,001

F(-0,882)=(-0,882) +0,2*(-0,882) +0,5*(-0,882)+1,5=-0,686-0,156-0,441+1,5=0,217

F(-0,943)=(-0,943) +0,2*(-0,943) +0,5*(-0,943)+1,5=-0,839-0,178-0,472+1,5=0,011

F(-0,946)=(-0,946) +0,2*(-0,946) +0,5*(-0,946)+1,5=-0,847-0,179-0,473+1,5=0,001

Ответ: x≈-0,946

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001

х -3х +6х+3=0;
х +0,2х +0,5х-2=0;

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel

Лабораторная работа №5

Тема: Отделение корней. Метод касательных

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

х -0,2х +0,5х-1,5=0;

Решение: Полагаем, что F(x)= х -0,2х +0,5х-1,5. Определим F’(x), а затем найдем корни уравнения

F’(x)= 3х -0,4х +0,4х+0,5=0

D=b -4ac=0.16-4*3*0.5=0.16-6= -5.84

D<0, поэтому непосредственно действительные корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения F(x)=0. Возьмем любую точку, например, х=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

X	-∞	-1	0	1	+∞
Sign f(x)	-	-	+	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f”=6x-0,4; в промежутке [-1;0]выполняется неравенство f”(х). Подставляем интервал [-1;0] в функции f”(х) и f(х) и находим при каком х знаки f”(х) и f(х) совпадают:

F”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е.при х=-1 знаки f”(х) и f(х) совпадают

Следовательно, а=0 – неподвижная точка

х =-1 – подвижная точка

Т.е. в данном методе всё наоборот, чем в методе хорд

Для вычисления применяем формулу

х =х -

Все вычисления располагаем в таблице: f(x) = 3x -0,4x+0,5

N	х	х
0	-1	-0,949
1	-0,949	-0,946
2	-0,946	-0,946

x = -1

x =x - = -1- = -1- = -1+0,051= -0,949;

x =x - = -0,949- = -0,949- = -0,949 + 0,003= -0,946;

x =x - = -0,946- = -0,946- = -0,946-0,0002= -0,9458;

|x -x |=|-0,9458-(-0,0946)|=0,0002≤0,001.

Вычисляем до тех пор, пока |x -x |≤0,001.

F(-0,949)=(-0,949) -0,2*(-0,949) +0,5*(-0,949)+1,5= -0,855-0,180-0,475+1,5= -0,01;

f’(-0,949)=3* (-0,949) +0,4*(-0,949)+0,5=2,702+0,380+0,5=3,582;

F(-0,946)=(-0,946) -0,2*(-0,946) +0,5*(-0,946)+1,5= -0,847-0,179-0,473+1,5= 0,001;

f’(-0,946)=3* (-0,946) +0,4*(-0,946)+0,5=2,685+0,378+0,5=3,563.

Ответ: x≈ -0,946.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

x -3x +6x+3=0;
x -0,2x +0,3x-1,2=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.

Лабораторная работа №6.

Тема: Отделение корней. Комбинированный метод.

Задание: Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третье степени, вычислив корни с точностью до 0,001.

x - 2x -4x+7=0.

Решение: Полагаем f(x)= x - 2x -4x+7=0. Определим f’(x)= 3x -4x-4=0.

Составим таблицу знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

X	-2	-1	0	1	2	3
Sign f(x)	-	+	+	+	-	+

Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-2;-1],[1;2],[2;3].

Уточним корни уравнения комбинированным методом на одном из интервалов, например, на интервале [-2;-1]. Находим вторую производную f”(x)= 6x-4. Подставляем интервал [-2;-1] в функции f”(x) и f(x) и находим, при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают: