Вопрос 9 Фрактальная графика

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Множество Жюлиа Множество Жюлиа определяется как граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании f(z): J(f) = δ {z: f⁽ⁿ⁾ (z)→ ∞, n→∞}

Добавление цвета Строго математически, изображения множеств Мандельброта должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, равный количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

Многоцветные фрактальные изображения относятся обычно к разряду фракталов с временным порогом, которые изображаются точками на комплексной плоскости с цветами, отражающими время, требуемое для того, чтобы орбита данной точки перешла определенную границу. Наиболее известный фрактал множество Мандельброта - фрактал с временным порогом. Для каждой точки компьютер считает координаты серии точек, определяющих мнимый путь, называемый орбитой. Точки, чьи орбиты никогда не выходят за пределы мнимого цилиндра закрашиваются черным. Точки, чьи орбиты выходят за пределы цилиндра, раскрашиваются в соответствии с быстротой "убегания"

Бесконечно детализированная природа фракталов При увеличении некоторого компьютерного изображения, точки на экране раздвигаются, представляя более крупный, но не более детализированный рисунок. Фрактальное изображение, однако, расширяется и открывает глазу новые детали.

Этот феномен, известный как самоподобие.

Новые детали будут появляться до бесконечности.

Фракталы в комплексной динамике Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена.

Бассейны Ньютона Фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости.

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени P(x)=x⁵-1

Стохастические фракталы Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы.

Метод, известный как Cистемы Итерируемых Функций (СИФ) позволяет создавать реалистичные изображения природных объектов, например, листья папоротника, деревья, при этом неоднократно применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают части изображения.

Биоморфы фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Фракталы в природе: бронхиальное дерево, сеть кровеносных сосудов, деревья.

Применение фракталов В физике - при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. При моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии -для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов.

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном. Коен основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение является неподвижной точкой.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов.