Вопрос 7 Фрактальная графика
Фрактальная графика – одна из быстроразвивающихся и перспективных видов компьютерной графики. Математическая основа - фрактальная геометрия. Фрактал – структура, состоящая из частей, подобных целому. Одним из основных свойств является самоподобие. Объекты называются самоподобными, когда увеличенные части объекта походят на сам объект.
Фрактал обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от окружности, эллипса и др. геом. фигур. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Фракталы в литературе
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста.
«У попа была собака…». «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…». «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…».
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи»)
К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
Фрактальные строки
Фрактальная строка — это слово, каждая буква которого состоит из уменьшенных копий данного слова и так далее.
Рекурсивна процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На слайде приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
Множества кантора
Множество Кантора - один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой.
Из единичного отрезка удалим среднюю треть. Оставшееся множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем новое множество.
Дерево Пифагора
Разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты.
Кривая Пеано
Общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат.
Кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
Треугольник («решётка» или «салфетка») Серпинского
Фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским.
Построение: Равносторонний треугольник М0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество М1 , состоящее из 3 оставшихся треугольников. Поступая точно так же с каждым из треугольников, получим множество М2 , состоящее из 9 равносторонних треугольников. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность множеств.
Ковер Серпинского (квадрат Серпинского)
Фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора.
Построение: Квадрат Q0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q0 удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 квадратов. Поступая точно так же с каждым из квадратов, получим множество Q1 , состоящее из 64 квадратов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность множеств.