4. Упрощение алгебраических выражений в кинетических уравнениях.

Первым шагом в редукции является упрощение правых частей кинетических уравнений. Здесь полезен учет реальных диапазонов изменения переменных: многие сложные функции (зависимости типа Михаэлиса-Ментен) легко линеаризуются либо вообще слабо зависят от точных значений некоторых переменных в этих диапазонах.

5. Нормировка концентраций факторов.

При анализе большого числа дифференциальных уравнений удобно обезразмерить переменные так, чтобы новые переменные изменялись в диапазоне от 0 до 1. Так мы сможем сравнить скорости превращений разных факторов и, соответственно, характерные времена этих реакций, исходя из значений кинетических констант.

Обезразмеривать время и расстояние на данном этапе работы представляется излишним, поэтому проведена только нормировка концентраций всех факторов. Нормировали следующим образом. Концентрации факторов VII, VIIa, VIII, VIIIa, V, Va нормировали на максимальные концентрации их предшественников, факторов XIa, Xa, IXa, pCa - на максимальные значения, достигаемые ими при свертывании в пространственном случае (табл. 3). Полученная система уравнений приведена в Приложении Г.

6. Применение теоремы Тихонова к системе уравнений вида “реакция-диффузия”.

Основным известным подходом при уменьшении размерности систем дифференциальных уравнений является выделение подсистемы быстрых переменных и применение к ним принципа квазистационарности Боденштейна и теоремы Тихонова, являющейся его математическим выраженим. Однако для систем уравнений в частных производных такая теорема неизвестна, а применение ее с игнорированием диффузионных членов может привести к существенным ошибкам.

Чтобы ответить на вопрос о применимости теоремы Тихонова к нашей задаче, надо понять качественную роль и количественный вклад диффузионных членов, входящих в кинетические уравнения.

Диффузия в нашей задаче ответственна за 1) связь между поверхностью и объемом (диффузия активированных внешней теназой факторов IXa и Xa от поверхности); 2) распространение всех активных факторов вглубь плазмы при движении фронта активации системы вдали от активирующей поверхности. В нашей системе все вещества, кроме фибрина и фибриногена, диффундируют и, следовательно, их диффузионные члены вносят свой вклад в правые части кинетических уравнений. Однако мы знаем, что эти уравнения не точны, т.к. не учитывают многих минорных реакций, и все же достаточно верно описывают поведение системы.

Диффузионные члены формально можно рассмотривать как равноправные с кинетическими членами одночлены в правых частях кинетических уравнений. Аналитическое сравнение диффузионной и кинетической частей представляется довольно трудоемким, если вообще возможным. Однако сравнение точных численных решений, полученых при пренебрежении различными диффузионными членами (см. п. III.3), показывает, что можно учитывать лишь некоторые из них. Это - диффузионный члены факторов IXa, IIa, Xa и Va. Причем диффузию Va фактора необходимо учитывать лишь при гемофилиях, а роль диффузии фактора Xa огромна вблизи активирующей поверхности, но пренебрежима мала вдали от нее. Рассмотрим эти результаты подробнее.

1. Концентрационый профиль любого сильно исчерпывающегося предшественника (это – факторы VII, II, VIII, и V – см. табл. 3 и рис. 18) представляет собой фронт выключения: в правой части фронта концентрация предшественника почти равна максимальной, в левой – практически нулевая (исключение составляет лишь фактор VII, но его концентрация в левой части фронта стационарна, что не уменьшает общности рассмотрения). Диффузионное размывание (вклад диффузионного члена) в правой части фронта, немного уменьшая абсолютную концентрацию предшественника, приводит лишь к незначительному ее относительному уменьшению. В центральной части фронта зависимость концентрации от координаты практически линейна, и диффузионный член мал. Увеличение же вследствие диффузии концентрации предшественника в левой части фронта не

может сказаться на процессе распространения активации плазмы крови (в частности, на скорости движения фронта), поскольку, вероятно, поведение системы практически полностью определяется процессами, происходящими в правой и центральной частях фронта активации, и нечувствительно к небольшим вариациям в левой части фронта из-за пространственного разделения.

Вклад диффузионных членов неисчерпывающихся факторов (XI, X, IX, pC), очевидно, самый малый вследствие почти равенства их концентраций по всему объему.

2. По-видимому, ключевая роль диффузии фактора Xa заключается в связывании системы поверхностных реакций с системой рекций, происходящих в приповерхностном слое. Причем XIa фактор такой связи обеспечить не может.

3. На скорость распространения активации вглубь плазмы наибольшее влияние должны оказывать процессы, происходящие на самом переднем крае бегущего фронта активации, т.к. там происходит потеря устойчивости и "запуск" свертывания в каждом последовательном сечении реакционного пространства. Запуск в каждом микрообъеме происходит при превышении пороговой концентрации активных факторов, и активирующей может стать концентрация любой протеазы (на какой ступени каскада свертывания она бы не находилась, т.к. каскад замкнут петлями положительных обратных связей) или совокупное присутствие нескольких протеаз. Поэтому быстрота запуска свертывания в данном микрообъеме должна определяться скоростью доставки активных факторов в этот микрообъем слева, причем скорость доставки одних факторов может быть гораздо больше скорости доставки других, и вполне может оказаться, что впереди фронта активации "бежит некоторая затравка" - всего лишь один или несколько активных факторов. Наша задача - понять, какие это могуть быть факторы.

Прежде всего, сузим список рассматриваемых активных факторов. Факторы Va и VIIIa являются кофакторами, резко увеличивающими активность факторов Xa и IXa, соответственно, но одно лишь их присутствие не может вызвать свертывание. Протеин С также можно отбросить из рассмотрения, поскольку мы отбросили фактор Va, ингибирующийся pCa. Фактор VIIa, активирующий факторы IXa и Xa по Хоффману, делает это очень слабо: его работа приводит к заполнению фибрином (заросту) всего объема, но за время порядка часа, к тому же его начальная концентрация ненулевая (0.01 нМ), и относительное изменение ее из-за диффузии, как и в случае предшественников, невелико. Нам же нужен мощный активатор, за секунды запускающий свертывание.

Предположим, что относительная сила активирующего, затравочного действия оставшихся факторов (XIa, IXa, Xa, IIa) зависит от времени их жизни: чем больше время жизни активного фактора, тем большее его количество успевает проникнуть в активируемый микрообъем за данное время и запустить там свертывание. Или, что то же самое, чем больше время жизни активного фактора, тем на большее расстояние он успеет продиффундировать с момента своей активации, запустив свертывание в соседнем микрообъеме.

В таблице 5 представлены эффективные константы ингибирования указанных активных факторов, коэффициенты их диффузии и характерные расстояния диффузионного пробега. Контанты ингибирования расчитывались как произведение константы связывания активного фактора с ингибитором на концентрацию ингибитора; константа для Xa фактора получена при пренебрежении концентрацией фактора Va, которого в рассматриваемой области пространства еще мало.

Таблица 5. Расчет расстояний диффузионного пробега некоторых активных факторов.

Фактор		Эффективная константа ингибирования hэфф, мин-1		Коэффициент диффузии D, мм2/мин	Характерное расстояние диффузионного пробега	, мм
IXa	0.204		0.0037		0.19
IIa (тромбин)	1.36		0.0028		0.064
Xa	1.02		0.0038		0.086
XIa	2		0.0021		0.046

Факторы по расстояниям диффузионного пробега располагаются в ряд: XIa<IIa<Xa<IXa. Этот ряд в целом согласуется с результатами численных расчетов кинетики роста тромба (табл. 4), предсказывая наименьшую роль диффузии фактора XIa и наибольшую - фактора IXa.

Итак, основная идея предложенного подхода состоит в том, что нельзя пренебрегать диффузией только наиболее долгоживущих активных факторов, т.к. они производят "запуск" свертывания на переднем крае движущегося фронта активации, "проникая" в область неактивированной плазмы на наибольшую глубину. За его правомерность говорят результаты дополнительных расчетов: при уменьшении константы ингибирования XIa фактора роль его диффузии возрастает (данные не представлены).