2 Семестр

ВАРИАНТ 1.1

1. Даны векторы

а = -2i – 3j

b = 5i

c = 3i – 5j

Н айти длину вектора d = 2a – 3b + c

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-2;-7) и образующей с осью ОХ угол 60 .

3. Найти координаты центра и радиус окружности х .

4. Точки А и В лежат в плоскости , а точка С не лежит в этой плоскости. Доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС параллельна плоскости .

5. Наклонная АМ = 10 см, проведенная из точки А к данной плоскости, образует с этой плоскостью угол 45 . Найти проекцию наклонной.

ВАРИАНТ 1.2

1. Даны векторы

m = 2i + 3j

n = -2i + j

p = -i + 2j

Н айти длину вектора k = -3m + 2n - p

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B (2;-6) и образующей с осью ОХ угол 45 .

3. Составить уравнение окружности концы диаметра АВ которого имеют координаты А (-2;3) и В (2;5).

4. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСД. Доказать, что прямая СД параллельна плоскости АВМ.

5. Наклонная, равная 20 см, образует с данной плоскостью угол 60 . Найти длину проекции этой наклонной на эту плоскость.

ВАРИАНТ 1.3

1. Даны векторы

d = 5i - j

e = -i + 3j

f = 4 j

Н айти длину вектора q = -d + 4e – 2f

2. Составить уравнение прямой, образующей угол 30 с осью ОХ угол 45 и проходящей через точку С (-1;9).

3. Составить уравнение окружности с центром в точке S (-1;4) и проходящей через точку М (3;5).

4. Точка Q не лежит в плоскости трапеции MNPK с основаниями MK и NP. Доказать, что прямая МК параллельна плоскости NQP.

5. Наклонная, равная 30 см, образует с плоскостью угол 30 . Найти длину проекции этой наклонной на эту плоскость.

ВАРИАНТ 1.4

1. Даны векторы

к = 8i

r = 7j

s = 2i - 3j

Н айти длину вектора e = k – 2r –3s

2. Составить уравнение прямой, образующей с осью ОХ угол arctg (-5) и проходящий через точку Д (3;8).

3. Найти уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке S (-2;3).

4. Точка N не лежит в плоскости параллелограмма EFHP. Доказать, что прямая ЕР параллельна плоскости FNH.

5. Под углом к плоскости проведена наклонная. Найти этот угол , если проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

ВАРИАНТ 2.1

1. Даны точки А(-2;4), В(3;-6), С(4;-2), Д(1;5). Вычислить скалярное произведение векторов

А В и СД.

2. Составить уравнение сторон треугольника с вершинами А (-3;-2), В (1;5) и С (8;-4).

3. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы в точках (-3;0) и (3;0).

4. В кубе АВСDA B C D построить сечение плоскостью, проходящей через вершины B и C и точку М – середину ребра ДС.

5. Внутри двугранного угла в 120 дана точка М, равноудаленная от каждой грани на расстоянии 4 см. Найти расстояние от этой точки М до ребра двугранного угла.

В АРИАНТ 2.2

Найти угол между векторами АВ и СД, если А (3;1), В (7;4), С (3;2) и Д (6;6).

1. Вершины треугольника заданы точками М (-1;-3), N (3;5) и P (4;0). Найти уравнения его сторон.

2. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами 10 (фокусы лежат на оси ОХ) и большая ось равна 12.

3. В кубе АВСDA B C D построить сечение плоскостью, проходящей через вершины А и Д и точку К, ГД середина ребра D C .

4. В тетраэдре ДАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Доказать, что - линейный для двугранного угла ВАСД.

ВАРИАНТ 2.3

1. Найти косинус угла между векторами а + в и а – в, если а = (2;3) и в = (1;1).

2. Треугольник DEF задан вершинами D (-3;4); E (-4;-3) и F (8;1). Определить уравнения всех трех его сторон.

3. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет е = 0,8.

4. В кубе АВСDA B C D построить сечение плоскостью, проходящей через вершины B и C и точку Р – середину АA .

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонен к этой плоскости под углом в 30 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

В АРИАНТ 2.4

К акому условию должны удовлетворить векторы а и в, чтобы вектор а + в был перпендикулярен вектору а – в.

1. Даны координаты вершин треугольника Н (2;5), Р (-6;-4) и К(6;-3). Каковы уравнения всех трех его сторон?

2. Найти координаты вершин эллипса, длины его осей и эксцентриситет, если эллипс имеет уравнение .

3. В кубе АВСDA B C D построить сечение плоскостью, проходящей через вершины A и B и точку L, где L – середина ребра АD.

4. На грани двугранного угла в 60 дана точка, удаленная от ребра на расстоянии 10 см. найти расстояние от этой точки до другой грани.

ВАРИАНТ 3.1

1. Расстояние от точки М, лежащей на оси ОХ до точки N (10;5) равно 13. Найти точку М.

2. Найти вершины ∆АВС, если его стороны АВ, АС и ВС заданы уравнениями: х + 3у – 3 = 0, 3х – 11у – 29 = 0 и 3х – у + 11 = 0

3. Даны прямые 2х – 3у + 6 = 0 и 3х – у – 3 = 0. Найти острый угол между ними.

4. Составить уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках А (-3;0) и А (3;0), а фокусы в точках F (-5;0) и F (5;0).

5. Через точку О пересечения диагоналей квадрата MNPQ проведена прямая ОК так, что КМ=КР и KN=KQ. Доказать, что ОК перпендикулярна плоскости квадрата.

ВАРИАНТ 3.2

1. Расстояние от точки В, лежащей на оси ОУ, до точки А (3;-1) равно 5. Найти точку В.

2. Вычислить координаты вершин MNP, если 4х + 3у +20 = 0, 6х – 7у – 16 = 0 и х –5 у + 5 = 0 уравнения сторон MN, NP, MP.

3. Вычислить угол между прямыми и .

4. Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если длина её действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.

5. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что АМ=МС и МВ=МD. Доказать перпендикулярность прямой ОМ к плоскости параллелограмма.

ВАРИАНТ 3.3

1. Вычислить координаты точки на оси ОХ, равноудаленной от точек А(5;13) и В (-12;-4).

2. Стороны ∆CDE заданы уравнением 7х + 3у – 25=0, 2х – 7у – 15=0 и 9х – 4у + 15 = 0. Определить координаты вершин C, D и E

3. Две прямые заданы уравнениями 5х – 12у – 16 = 0 и 3х + 4у – 12=0. Найти угол между ними.

4. По уравнению гиперболы вычислить координаты её вершин и фокусов.

5. Через точку О пересечения диагоналей ромба MNKP проведена прямая OS так, что SM = SК и SN=SP. Доказать, что прямая OS перпендикулярна плоскости ромба MNKP.

ВАРИАНТ 3.4

1. Вычислить координаты точки на оси ОУ, равноудаленной от точек М(-4 ;0) и N (-3;-7).

2. Определить координаты вершин ∆QRS, стороны которого заданы уравнениями 5х - 3у – 15=0, х + 5у – 3=0 и 3х + у + 5 = 0.

3. Какова величина угла между прямыми 3х+4у-12 = 0 и 15х - 8у – 45=0.

4. Определить уравнения асимптот гиперболы по уравнению самой гиперболы

5. Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что прямая ВД перпендикулярна к плоскости АМО.

ВАРИАНТ 4.1

1. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(-1;2) и В(5;-4).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;4), параллельно прямой 2х – 3у + 6 = 0

3. В кубе АВСDA B C D найти угол между скрещивающимися прямыми АА и B D.

4. По уравнению параболы у = 6х составить уравнение её директрисы.

5. Из точки А к плоскости L проведены перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 30◦. Найти наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 2 см.

ВАРИАНТ 4.2

1. Точка К делит отрезок MN в отношении 3:5 (от M к N), где М (2;3) и N(10;11). Найти точку К.

2. Параллельно прямой через точку А (-1;-4) проходит другая прямая. Найти её уравнение.

3. В кубе MNPQM N P Q вычислить угол между скрещивающимися отрезками N P и QQ

4. По данному уравнению параболы у = - 4х вычислить координаты её фокуса.

5. Из точки М к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, образующие угол 60 . Найти длину перпендикуляра и проекции наклонной, если сама наклонная равна 4 .

ВАРИАНТ 4.3

1. Найти координаты точки Д, которая делит отрезок PF в отношении 1:3 (от F к P), если Р (-3;-2) и F (9;6).

2. Параллельны ли прямые 3х – 2у +5 = 0 и 4у – 6х – 7 = 0 и какая из них проходит через точку S (-1; 1).

3. В кубе EFYHE F Y H определить величину угла между скрещивающимися прямыми EY и FF .

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале прямоугольной системы координат, если фокус находится в точке F (3;0).

5. Если наклонные раны, то равны их проекции. Доказать.

ВАРИАНТ 4.4

1. Отрезок DH, концами которого служат точки D (3;-2) и H (10;-9) делится точкой Е в отношении 2:5. Найти точку Е.

2. Через точку Н (2;-9) проходит прямая, параллельная прямой -5х + 4у – 8 = 0. Составить уравнение этой прямой.

3. В кубе ABCDA B C D найти величину угла между скрещивающимися прямыми A C и DD .

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале прямоугольной системы координат, если директрисой её служит прямая х = 4.

5. Доказать, что если проекции наклонных равны, то равны и сами наклонные.

ВАРИАНТ 5.1

1. Найти угловой коэффициент прямой 3у – 4х + 5 = 0 и угол, образованный этой прямой с осью ОХ.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2;3), перпендикулярно прямой 5х – 4у – 20 = 0.

3. Дано: А а, а . Доказать: А .

4. Диагональ куба равна 3. Найти расстояние от вершины куба до плоскости диагональю сечения.

5. Внутри двугранного угла в 120 дана точка М, равноудаленная от каждой грани на расстоянии 4 см. Найти расстояние от этой точки М до ребра двугранного угла.

ВАРИАНТ 5.2

1. Дана прямая 2х – 6у + 7 = 0. вычислить её угловой коэффициент и угол образованный этой же прямой с осью ОХ.

2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой и проходящей через точку М (-4;1).

3. Дано: А , В , А , В . Доказать р .

4. Один конец отрезка лежит в плоскости , а другой находится от неё на расстоянии 6 см. Найти расстояние от середины данного отрезка до плоскости .

5. В тетраэдре ДАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Доказать, что ДМВ – линейный для двугранного угла ВАСД.

ВАРИАНТ 5.3

1. Определить угловой коэффициент прямой – 8у + 6х – 1 = 0 и угол, образованной этой прямой с осью ОХ.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через начало прямоугольной системы координат, перпендикулярно прямой 2х + 3у – 12 = 0.

3. Дано: А , В , р . Доказать: А , В .

4. Концы отрезка отстоят от плоскости на расстоянии 1 см и 4 см. Найти расстояние от средины данного отрезка до плоскости .

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости , а катеты наклонены к этой плоскости под углом в 30 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

ВАРИАНТ 5.4

1. Вычислить угловой коэффициент прямой 10х + 5у – 2 = 0 и угол, образованный этой прямой с осью ОХ.

2. Определить уравнение прямой, проходящей через центр окружности (х+2) + (у-5) =1 перпендикулярно прямой 5х – 2у + 10 = 0.

3. Дано: А , А .Доказать: А .

4. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6см.

5. На грани двугранного угла в 60 дана точка, удаленная от ребра на расстоянии 10 см. Найти расстояние от этой точки до другой грани.