Тема. Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
В
некоторых областях научной деятельности
приходится по заданной функции скорости
находить функцию пути. Эта функция пути
и будет первым образом самой функции.
Восстановление функции пути о данной
функции скорости есть операция
интегрирования. Это значит, что необходимо
найти функции f(x)
такую, что
(x)=f(x),где
f(x)
известная данная функция.
Функция F(x) в математик е называется первообразной функцией по отношению к функции f(x).
Например,
первообразной для функции f(x)
является функция F(x)=
.
Первообразной
функции f(x)=1
будет функция F(x)=x,
т.к.
=
=1.
Однако,
если функция f(x)=x
имеет первообразное F(X)=
,то
функция
=
;
;F
отличающихся постоянными величинами
,-25,0,873
также будут первообразным, потому что
;
.
Но поскольку постоянных величин С бесчисленное множество то и первообразных f(x) для функции f(x) так же бесчисленное множество и записывается это в виде F(x)+C.
Например,
для функции f(x)=
все первообразные будут записаны F(x)=
,т.к. F(x)=(
.
Доказывается основное свойство первообразной .Если функция f(x) имеет первообразную, то их у нее бесчисленное множество и это записывается в виде F(x)+C.
Геометрически это свойство означает семейство кривых, полученные путем сдвига кривой y=F(x) вдоль оси OY.
С
другой стороны выражение f(x)+C
называется неопределенным интервалом
оси функции f(x)
и обозначаются
f(x)
f(x) и обозначаются f(x)
f(x)-подынтегральное функция
f(x) -подынтегральное выражение.
знак
гентеграла.
Из
определения следует
Примеры:1)
,т.к.
(sinx
+C)=cosx
2)
.
Для вычислений неопределенных интегралов пользуется его свойствами:
1)Постоянный
множитель можно вынести за знак интеграла
.
Интеграл
оси от алгебраической суммы функции
равен
алгебраической сумме интегралов от этих функций.
Интегралы вычисляются с помощью табличных интегралов и с помощью метода замены.
Задание 1. вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования.
Пример 1.
Здесь
число 6 по первому свойству интегралов
выносим за знак интеграла и получаем
запись
Далее
в таблице неопределённых интегралов
находим
(стр. 264, 5 формула).
Решение:
Пример 2.
В таблице находим 11 формулу.
Пример 3.
Преобразуем
и используем 6 формулу.
Решение
Задание 2. Вычислить интегралы методом замены переменных.
Пример 1.
При вычислении таких интегралов надо сделать замены. Под дифференциалом понимается произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. dx.
Решение
1)
Замена:
2) Находим дифференциал от обеих частей замены
Проверка. Возьмём производную результата.
Получим подынтегральную функцию, это значит, что интегрирование выполнено верно.
Ответ:
Пример 2.
Решение:
1)
Замена
=t
2) Дифференцирование обоих частей замены.
Ответ:
Пример 3.
1.
Замена:
=t
2. Дифференциал замены
Ответ
Задание
3. Найти ту первообразную для функции
f(x)=
,
график которой проходит через точку М
(2; -10).
Решение. Составляем интеграл вычисляем его.
Т.к. М (2; -10), то х=2 и F(x)=-10. Подставляем эти данные в найденную функцию и вычисляем величину С.
Ответ:
Рекомендуемая литература по теме:
1. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов - М: Дрофа, 2005 г.,
62 п. 1,2,3, 63, 64 стр. 261-266, 268
2. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов
/ Богомолов Н. В. - М.: Высшая школа, 1979 г (гл. 10 1,2,3 стр. 169-176, 181).
3. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов / Н. В. Богомолов –
М.: Дрофа, 2006 г. ( 38 стр 60-61)