Тема. Показательные уравнения, их виды и способы решения. Показательные неравенства, их виды и способы решения.

Справочные сведения.

При решении показательных уравнений и неравенств пользуются свойствами

показательной функции y = a ^x:

1. Если a > 0 и a ≠ 1, то равенство a ^x = a ^y справедливо тогда и только тогда, когда

x = y^.

2. Если a>1, то неравенство a ^x > a ^y справедливо тогда и только тогда, когда x > y.

3. Если 0 < a < 1, то неравенство a ^x > a ^y справедливо тогда и только тогда, когда x < y

По своему виду и способу решения показательные уравнения, как и показательные

неравенства делятся на :

1) уравнения (неравенства), сводящиеся к одному основанию

2) уравнения (неравенства), решаемые вынесением общего множителя за скобку

3) уравнения (неравенства), сводящиеся к квадратным.

Решить уравнения.

Пример 1.

7 ^x2-7x+10 = 1

В этом уравнении 1 представляем степенью с основанием 7, т.е. 1 = 7º

Решение

7 ^{x²- 7x+10} = 1

7 ^{x²- 7x+10} = 7º

x²- 7x+10 = 0

x₁ = 2 x₂ = 5

Пример 2.

100 ^{x² - 1} = 10 ^{1 - 5x}

(10²) ^{x² - 1} = 10 ^{1 - 5x}

10 ^{2x² - 2} = 10 ^{1- 5x}

2 x² + 5x - 3 = 0

Ответ:

Пример 3.

3 ^{2y - 1} + 3 ^{2y - 2} - 3 ^{2 y - 4} = 315

В этом уравнении необходимо вынести как общий множитель степень числа 3 с наименьшим показателем 2y-4. Это действие определяется следующими признаками:

а) основания всех степеней одинаковые - 3

б) между степенями действия сложения и вычитания

в) коэффициенты при y в показателе одинаковые - 2

Вынесение общего множителя за скобку связано с действием деления, что ведёт к использованию свойства = a ^x-y

Решение.

3 ^{2y - 1} + 3 ^{2y - 2} - 3 ^{2 y - 4} = 315

3 ^{2y - 4}(3 ^{2y - 1 - 2y + 4} + 3 ^{2y - 2 - 2y +4} - 1) = 315

3 ^2y-4 ( 3 ³ + 3 ² - 1) = 315

3 ^2y-4 ( 27+ 9 - 1) = 315

35∙ 3 ^2y-4 = 315 | : 35

3 ^2y-4 = 3 2

2y-4 = 2

2y = 6

y = 3

Ответ: y = 3

Пример 4.

16 ^x - 17 ∙ 4 ^x + 16 = 0

Основания степеней в уравнении разные, но таковы, что одно из оснований является квадратом другого. Это признак уравнения, сводящегося к квадратному через замену.

Решение

16 ^x - 17 ∙ 4 ^x + 16 = 0

16 = 4 ²

Замена: =t, t>0 по свойству степени.

Возврат к замене

Решить показательные неравенства

Пример 1

Сводим обе части к одному основанию 3.

Решение

Т.к. 3>1, то

Ответ:

Пример 2

_{Решение}

Ответ

Пример 3.

Квадратное неравенство решаем методом интервалов

Возврат к замене

Рекомендуемая литература

1.Математика: учебник для ссузов/ Н.В. Богомолов – М; Дрофа, 2005г.

2.Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 классов – Шабунин

М.И. – М.; Мнемозина, 1998г.

3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов

/ Богомолов Н. В. - М.: Высшая школа, 1979 г., гл. 8

4. Пособие для абитуриентов «тысяча и один пример» / Назаренко А. М.б 1994 г.,

(§ 2 п. 1, п. 5, п. 7) .

Тема. Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.

Для вычисления логарифмов необходимо знать определение логарифма,

вытекающее из него основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов.

Для решения логарифмических уравнений и неравенств дополнительно надо знать

свойства логарифмической функции.

Справочный материал:

1)Определение

2) - основное логарифмическое тождество.

3) Свойства логарифмов при a>0,

4)

5)

6) Неравенство

а) при a>1 равносильно неравенству f(x)>g(x)>0

б) при 0 <a<1 равносильно двойному неравенству 0<f(x)<g(x).

Задание 1. Вычислить выражения.

Пример 1.

В примере используются 1) свойство степени , применённое в

обратном порядке и 2) основное логарифмическое тождество.

Решение

Ответ .

Пример 2.

Применяем свойство логарифмов: разность логарифмов приводит к логарифму частного, а сумма логарифмов- к логарифму произведения.

Решение

Ответ

Логарифмические уравнения и неравенства по своим видам и способам делятся на

1) уравнения (неравенства), решаемые на основе определения логарифма.

2) уравнения (неравенства), решаемые на основе свойств логарифмов.

3) уравнения (неравенства), решаемые сведением к квадратным.

4)Решение логарифмического неравенства более рационально свести к решению

системы неравенств, включая в неё область допустимых значений логарифма.

5) При решении логарифмических уравнений необходима проверка корней, т.к. в процессе решения могут возникнуть посторонние корни.

Решить уравнения.

Пример 1.

log₄ (х² – 3х) = 1

Используем определение логарифма.

Решение.

log₃ (х² – 3х) = 1

х² – 3х = 4¹ = 4

х² – 3х – 4 = 0

При решении логарифмических уравнений таким способом проверка корней не обязательна.

Ответ: х₁= 4 ,х₂ = -1

Пример 2.

log ₃ (х - 2) + log ₃ (х + 6) = 2

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения. В таких уравнениях проверка обязательна.

Решение.

log₃ (х – 2) + log₃ (х + 6) = 2

log₃ (х - 2) (х + 6) = 2

log₃ (х² + 4х – 12) = 2

х² + 4х – 12 = 3² = 9

х² + 4х – 21 = 0.

х_1,2 = - 2 + = -2 + = - 2 + 5

х₁ = - 2 – 5 = - 7 ; х₂ = - 2 + 5 = 3.

Проверка полученных корней квадратного уравнения производится в исходном уравнении, причем обе части его вычисляются отдельно.

х = -7

log₃ (-7 - 2) + log₃ (-7 + 6) = log₃ (-9) + log₃(-1) – не имеет смысла, т.к. не существует логарифмов отрицательных чисел (и нуля).

х = -7 – посторонний корень.

х = 3

log₃ (3-2) + log₃ (3+6) = log₃ 1+log₃ 9 = 0+2 = 2

2 = 2 – верное равенство

х = 3 – корень.

Ответ: x=3

Пример 3

2lg²x+3lgx-2=0

Поскольку один из десятичных логарифмов находится в квадрате, то уравнение через замену сводится к квадратному.

Решение:

2lg²x+3lgx-2=0

Замена: logx=t,t R

2е²+3е-2=0

t_1,2=

t₁= = =-2 , t₂=

Учитывая замену, получим:

lgx=-2 lgx=

x=10^-2= x= =

Ответ:x₁= ; x₂=

Решить неравенства.

Пример 1.

Log₃ <1

Решение:

Log₃ <1

Правую часть представляем через логарифм с основанием 3,т.е. 1=log₃3

Log₃ < log₃3

Т.к. 3>1,то 2x-1<3

Составляем систему:

,

,

Ответ

Пример 2.

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения.

Решение.

Т.к. 15>1, то <15.

Составим систему:

Нижнее Неравенство решаем методом интервалов

5<x<8

Ответ: 5<x<8.

Пример 3.

Решение

Замена:

Возвращаемся к замене

Т.к. 2>1,то 2

Ответ: 2

Рекомендуемая литература:

1. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов - М: Дрофа, 2005 г.,

2. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов / Н. В. Богомолов –

М.: Дрофа, 2006 г.

3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов

/ Богомолов Н. В. - М.: Высшая школа, 1979 г

4. Пособие для абитуриентов «тысяча и один пример» / Назаренко А. М.б 1994 г

5.Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 класса / Шабунин

М. И. - М.: Мнемозина, 1998 г.,