Тема Тригонометрические уравнения.
Любые виды тригонометрических уравнений, в конечном счете, сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. перечислим их с формулами корней.
Уравнение
Уравнение
Уравнение
Студент должен понимать смысл аркусов.
Определения.
1.
arcsina
есть множество углов лежащих на отрезке
,
такое, что
sin (arcsina)=а. Свойство: arcsin(-a)= - arcsina
2.
arccosa
есть множество углов лежащих на отрезке
такое, что
cos
(arccos) =a. Свойство
arccos (-a)=
-arccosa.
3.
arctga
называется такое множество углов,
лежащих в интервале
такое, что tg (arctga) = a. Свойство: arctg(-a)= - arctga.
Кроме того, студент должен понимать решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений (по материалам 9ого класса), а именно:
Обращаем внимание студентов, что в записи корней этих уравнений отсутствует «аркус».
Тригонометрические уравнения подразделяются на определённые виды со своими способами решения. Рассмотрим главные из них.
1. Простейшие тригонометрические уравнения.
Задание. Решить уравнения.
Пример 1.
Так, например, при n=-6 корни исходного уравнения будут следующие
Пример 2.
По формуле корней уравнения sinx=a получаем
Например, при n=2 корень будет иметь вид
Или в градусной мере 13800 .
Пример 3.
По формуле корней tgx=a запишем решение
При n=-4 корень будет равен
или
в градусной мере 1147,50.
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Пример 1.
Т.к. уравнение содержит одну и ту же функцию cosx, одна из которых в квадрате, и один и тот же аргумент х, то, сделав замену cosx=t перейдём к квадратному уравнению. В этом заключается алгоритм решения.
решение.
Замена:
cosx=t,
где
в силу ограниченности косинуса.
Получаем квадратное уравнение
Следовательно,
с этими значениями корней
,переходя
к замене cosx=t
, будем решать два простейших уравнения
Ответ
Пример 2.
Для
сведения к квадратному уравнению
применим равенство
,
что бы его свести к одной функции sinx.
2sin²x - 3sin x - 2 =0
Замена: sin x = t, -1≤t≤ 1
2t² - 3t -2 = 0
t1,2
=
t1
=
не удовлетворяет условию -1≤t≤ 1.
t2
=
удовлетворяет условию -1≤t≤ 1.
Следовательно, составляем по замене sinx = t только одно уравнение.
sinx
=
x = (-1)ⁿ arcsin( -½) + πn, n € Z
x = (-1)ⁿ (-arcsin ½) + πn, n € Z
x
= (-1)ⁿ+1
+
πn, n € Z
Ответ: x = (-1)ⁿ +1 + πn, n € Z
Пример 3.
tg x + ctg x - 4 = 0
Учитываем,
что ctg x =
. Уравнение примет вид
tg x + - 4 = 0 | ∙ tg x, где tg x ≠ 0
tg²x +1 - 4tg x = 0 или tg²x - 4tg x +1 = 0
Замена: tg x = t, где t € R.
Получим уравнение
t² - 4t + 1 = 0
Найдём корни квадратного уравнения, учитывая второй чётный коэффициент, т.е.
b = 4
t1,2 = 2 ± √2²-1∙1= 2 ± √4-1 = 2 ± √3.
t1 = 2 + √3 удовлетворяет условию t € R.
t2 = 2 - √3 удовлетворяет условию t € R.
Составим уравнения.
tg x = 2 + √3 tg x = 2 - √3
x = arctg (2 + √3 ) + πk, k € Z x = arctg (2 - √3 ) + πk, k € Z
Т. к. имеем нетабличные значения арктангенса, то оформляем ответ.
Ответ: x = arctg (2 + √3 ) + πk, k € Z
x = arctg (2 - √3 ) + πk, k € Z
3. Уравнения, решаемые разложением левой его части множители
Пример 1.
sin 2x + sin 6x = 0
В такого рода уравнениях, в которых левая часть представлена суммой или разностью одноимённых тригонометрических функций типа sin x ± sin y, cos x ± cos y необходимо пользоваться нужными равенствами. В нашем
уравнении применима формула
Применим её.
Решение.
sin 2x + sin 6x = 0
2
sin
= 0 | ׃2
sin
= 0 или sin
4x
∙ cos
(-2x)
= 0
Т.к. функция косинус чётная (cos (-α) = cos α), то получим
sin 4x ∙ cos 2x = 0
Каждый из множителей приравниваем к 0.
sin 4x = 0 cos 2x = 0
4x
= πn,
n € Z 2x =
+ πn,
n € Z
x
=
, n
€ Z x =
+
n,
n € Z
Ответ: x = , n € Z; x = + n, n € Z
Пример 2.
sin 2x + cos x = 0
Здесь заменим sin 2x = 2 sin x cos x
Решение.
sin 2x + √2 cos x = 0
2 sin x cos x + √2 cos x = 0
cos x ( 2 sin x + √2) = 0
cos x = 0 2 sin x + √2 = 0
x = + πn, n € Z sin x = -√2/2
x
= (-1)ⁿ arcsin(
)+
πn,
n € Z
x
= (-1)ⁿ(- arcsin
)+
πn,
n € Z
x = (-1)ⁿ+1 π/4 + πn, n € Z
Ответ: x = + πn, n € Z; x = (-1)ⁿ+1 + πn, n € Z
4. Однородные тригонометрические уравнения.
По программе рассматриваются однородные тригонометрические уравнения следующих типов:
1) a cos x ± b sin x= 0;
2) a cos ² x ± b cos x sin x ± c sin ² x = 0
3) a cos ² x ± b cos x sin x ± с sin ² x = d
Первое уравнение решается делением обеих частей на cos x, второе уравнение решается делением обеих частей на cos ² x, и в них уравнения сводятся к фунции tg x.
Третье уравнение за счёт умножения d на тригонометрическую единицу 1 = cos ² x + sin ² x приводится ко второму виду.
Решить уравнения.
Пример 1.
3 sin ² x - 7 sincos x + 2 cos ² x = 0
Обе части этого однородного уравнения делим на cos ² x и приходим к квадратному уравнению, выраженному через тангенс.
3 sin ² x - 7 sincos x + 2 cos ² x = 0 | : 2 , cos x
3 tg ² x - 7 tg x + 2 = 0
Замена: tg x= t, t € R
3t ² - 7t +2 = 0
t1,2,
=
t1=
Возвращаемся к замене.
tg
x = 2 tg x =
x = arctg2 + πn, n € Z x = arctg + πn, n € Z
Ответ: x = arctg2 + πn, n € Z; x = arctg + πn, n € Z
Пример 2.
4 sin² x - 8 sin x cos x + 10 cos ² x = 3
Решение
4 sin² x - 8 sin x cos x + 10 cos ² x = 3
4 sin² x - 8 sin x cos x + 10 cos ² x = 3 ( sin² x + cos ² x)
4 sin² x - 8 sin x cos x + 10 cos ² x - 3cos ² x- 3 sin² x= 0
sin² x - 8 sin x cos x + 7 cos ² x = 3 | : cos ² x , cos x ≠ 0
tg ² x - 8 tg x + 1 = 0
Замена:
tg x = t, t € R
t² - 8t + 7 = 0
t1,2 = 4 ± √16-7 = 4 ± √9 = 4 ± 3
t1 = 7 t2 = 1
Возвращаемся к замене.
tg x = 7 tg x = 1
x = arctg7+ πn, n € Z x = arctg1+ πn, n € Z
x = + πn, n € Z
Ответ: x = arctg7+ πn, n € Z; x = + πn, n € Z
Рекомендуемая литература по теме
1. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов - М: Дрофа, 1005 г., §40 п.
1,2,3,4.
2. Сборник задач по математике: учебное пособие для ССУЗов / Н. В. Богомолов –
М.: Дрофа, 2006 г. № 187
3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов
/ Богомолов Н. В. - М.: Высшая школа, 1979 г., гл. 8
4. Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 класса / Шабунин
М. И. - М.: Мнемозина, 1998 г., § 15
5. Пособие для абитуриентов «тысяча и один пример» / Назаренко А. М.б 1994 г., § 3
п. 2, п. 2-10