§6. Аксиоматика Колмогорова

Обозначим за Ω множество элементарных событий (элементов произвольной природы). Его элементы будем обозначать .

Выделим некоторую совокупность подмножеств Ω — множество событий F, и введем операции над событиями³:

1. Сумма.

Cуммой событийAиBназывается событиеC, которое заключается в том, что либо произошлоA, либоB, либо иA, иBодновременно. (Т.е., произошло хотя бы одно из событий). Обозначения:A + B,A B.

Такое определение допускает обобщение на большее число событий. Суммой

называют событие C: хотя бы одно из событийA_i(i= 1..n) произошло.

2. Произведение.

Произведением событий AиBназывается событиеC, которое заключается в том, что произошли одновременно иA, иB. Обозначения:AB,A · B,A B.

Такое определение также допускает обобщение. Произведением

называют событие C: всеA_i(i= 1..n) произошли.

3. ОтрицаниемсобытияAназывают событие:Aне произошло.

4. РазностьюсобытийAиBназывается событие, которое заключается в том, что произошлоA, аBне произошло. Обозначение:A − B, A \ B.

.

5. Следованиемназывают событиеAB. Другие обозначения:A  B,A → B.

6. Правила де Моргана:. Легко обобщаются на случай большего количества событий.

6.1 Аксиомы событий

1. , где Ω — достоверное событие.

2. .

3. (набор может быть и бесконечным).

Отсюда сразу же (по п. 2 и законам де Моргана) получаем, что .

Множество Fназываетсяσ-алгеброй событий.

6.2 Аксиомы вероятности

Любому событиюможет быть поставлена в соответствие вероятностьP(A) со следующими свойствами (аксиомами вероятности):

1. P(A) ≥ 0 (нормировка).

2. P(Ω) = 1.

3. Счетная аддитивность. ПустьV= {A₁, …,A_n, …} — счетное множество⁴, для которого справедливо(событияпопарно несовместны). Тогда

.

Тройка (Ω, F,P) образуетвероятностное пространство.

6.3 Свойства вероятности

1. .

Доказательство. Рассмотрим событияA,B − A. Они попарно несовместны. Их объединение равноA+ (B−A). Согласно рисунку

.

Отсюда P(B) ≥P(A).

2. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Доказательство.P(A) ≥ 0 по аксиоме 1 п. 6.2,P(A) ≤P(Ω) по свойству 1 (из любого события следует достоверное). АP(Ω) = 1по аксиоме 2.

3. .

Доказательство.— очевидно, несовместные события, а. С одной стороны,; с другой —. Это и доказывает требуемое.

4. Теорема сложения вероятностей..

Доказательство.P(A+B) состоит из трех непересекающихся событий:A−B,B−A,AB. Согласно рисунку, справедливы равенства:

.

Из них получим: .

Но тогда

.

Замечание. ЕслиAиBнесовместны, тоP(AB) = 0 иP(A+B) =P(A) +P(B).

5. Обобщение. Применим формулу из п. 4, чтобы найти

.

Можно по индукции доказать, что

.

Это утверждение часто называют принципом включения-исключения.

Пример. «Задача о рассеянной секретарше»

Есть nписем иnадресов. Конвертам с письмами случайно назначены адреса. Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо найдет своего адресата?

Решение. СобытиеA_i—i-й адресат получил свое письмо, событиеA — все адресаты получили свои письма:

.

Вероятность будет равна

.

6. Непрерывность вероятности

   1. Пусть имеется бесконечная последовательность возрастающих событий

определим события

.

Тогда

.

2. Равносильная формулировка: пусть имеется бесконечная последовательность убывающих событий

определим события

.

Тогда

.

Доказательство. Сначала докажем пунктa).

СобытиеB_Nпроисходит, когда либо все события произошли (B), либо когдаB_nпроизошло, аB_n−1— нет, либоB_n−1произошло, аB_n−2— нет и т.д. ПосколькуB_nиB_n−1попарно несовместны, можно записать

.

Вероятность B_Nравна:

.

Теперь докажем пункт b). По свойству 3,

.