16.3 Примеры задач

1. X₁,X₂— независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение,Y= 2X₁+ 3X₂. Найти плотность распределения.

Решение.

2. X₁,X₂— случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение;cov[X₁,X₂] = 1/2.Y = 2X₁ + 3X₂. Найти плотность распределения.

Решение.

3. X₁,X₂ — независимые случайные величины ~N(0,1),U=X₁ +X₂,V=X₁−X₂. Найти совместное распределениеU иV.

Решение. Вектор (UV)^Tимеет нормальное распределение с матожиданием (EUEV)^T= (0 0)^Tи дисперсиямиDU=DV= 2.

Ковариация .

Получили: UиVнезависимы. Тогда

4. Условия 3), но U=X₁−X₂,V=X₁ + 2X₂.

Решение. Математические ожиданияEU=EV= 0, дисперсии:

DU= 2, DV = 1 + 4 = 5.

Ковариация

Отсюда

5. Пусть в условиях 3) Y= abs[2X₁+ 3X₂]. Найти функцию распределенияY.

Эскиз решения. Сначала находим функцию распределения 2X₁+ 3X₂, а затем — дляabs[ · ]. Затем комбинируем.

§17. Неравенство Чебышева

17.1 Вариант с простым доказательством

Доказательство. Введем новую случайную величину

.

По свойствам математического ожидания, E[Y₁] ≤EY. Т.к.Y₁— дискретная случайная величина, ее математическое ожидание равно

.

Получили: .

17.2 Классический вариант

.

Для доказательстваприменим результат пункта 17.1, где возьмемY= (X–EX)²,δ=ε²:

.

§18. Виды сходимости в теории вероятностей

18.1 Сходимость по вероятности

Пусть имеется последовательность случайных величин X_n=X_n(ω). Говорят, что онасходится по вероятностик функцииX(ω), и записывают, если

.

То есть, если вероятность значительных отклонений X_nотXстремится к нулю.

18.2 Сходимость с вероятностью 1

Пусть имеется последовательность случайных величин X_n=X_n(ω). Говорят, что онасходится с вероятностью 1 к функцииX(ω), если

.

Ясно, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности, но не наоборот. Иногда вместо слов «сходится с вероятностью 1» употребляют термин «сходится почти наверное».

18.3 Среднеквадратическая сходимость

Пусть имеется последовательность случайных величин X_n=X_n(ω). Говорят, что онасреднеквадратическик функцииX(ω), если

.

§19. Закон больших чисел

19.1 Общая формулировка

Пусть имеется последовательность X₁,X₂, …,X_nнезависимых случайных величин с математическими ожиданиямиE[X_i] =μ и дисперсиямиD[X_i] =σ² (i =1..n). Тогда говорят, что она подчиняетсязакону больших чисел, если

.

Теорема. Закон больших чисел для указанной последовательности выполняется, еслиσ²< ∞.

Замечание. Вообще говоря, условие σ²< ∞ излишнее; достаточно лишь того, чтобы величинаμбыла конечной. Однако оно упрощает доказательство.

Доказательство. Проверить выполнение закона больших чисел — то же самое, что доказать

.

То есть

.

19.2 Закон больших чисел Бернулли

Пусть имеется nнезависимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытанииp. Число успеховm. Тогда

.

Это важное следствиезакона больших чисел, поскольку с его помощью на раннем этапе развития теории вероятностей обосновывалось определение вероятности (как пределаотносительной частотыm/nпоявления некоторого события в испытаниях).

Доказательство. Введем вспомогательные случайные величины

.

С учетом введенных обозначений

.

Согласно вычислениям п. 14.2,

.

Поскольку испытания независимые,X_iнезависимы и можно применить ЗБЧ:

.

Рассмотрим сумму с перенесенным влево математическим ожиданием:

.

Поставим вопрос: а какова скорость сходимости (при каком минимальной степени nв знаменателе мы все еще получим 0)? Ответ: 2/3.

«Критическим» моментом является степень 1/2, при которой согласно интегральной теореме Муавра–Лапласа (см. 9.2) появляется предельное нормальноераспределение. Можно показать, что при степени менее 1/2 предел равен ∞.

Вывод: интегральная теорема Муавра–Лапласа дает полное уточнение закона больших чисел Бернулли. Оказывается, аналогичного результата можно достичь, рассматривая общий случай закона больших чисел. А именно,

.

Этот результат называют центральной предельной теоремойтеории вероятностей. Он будет доказан в §21 с использованием аппарата характеристических функций (§20).