9.2 Предельные теоремы в схеме Бернулли

1) Теорема Пуассона⁸

Пусть p_n — вероятность успеха в одном испытании, и. Тогда вероятностьmуспехов при каждом фиксированномm

,m= 0, 1, 2, …

Доказательство.

Пример. Машинистка печатает текст в 20 тысяч знаков. Каждый из знаков может быть напечатан неверно с вероятностьюp= 0,0004. Найти вероятность того, что в тексте не менее 3 опечаток.

Решение. Проверим возможность применения теоремы:λ=np= 8 < 10.

.

Замечание: часто применяется в задачах на радиоактивный распад.

2) Локальная теорема Муавра–Лапласа

Введем величину

.

Пусть . Тогда

.

и можно использовать приближение

.

Доказательство. Воспользуемся формулой Стирлинга:

.

Выразим mчерезx:

. (*)

Поскольку величина xограничена, в условиях теоремы

, (**)

т.е., формулу Стирлинга можно применять для приближения m! и (n−m)!

Теперь выпишем

.

Рассмотрим произведение

($)

Теперь применим (*) и (**), тогда при n→ ∞

,.

Отсюда,

.

Продолжаем преобразования:

.

Приближенно разложим ln(1 +z) в ряд Тейлора:

,

и воспользуемся этим разложением в ($).

.

Однако

,

.

Отсюда

,

т.е.,

.

Теорема доказана.

Пример. Симметричная монета бросается 100 раз. Найти приближенную вероятность того, что герб выпадет 40 раз.

Решение. Из условия задачиp=q= 0,5;m= 40,n= 100. Согласно теореме Муавра–Лапласа,

,

.

3) Интегральная теорема Муавра–Лапласа (без доказательства)

Введем в рассмотрение интегральную функцию Лапласа(функцию нормального распределения)

. (%)

Интеграл (%) аналитически неберущийся, но стремится к 1/2 при x→ ∞. Составлены таблицы значений Φ(x). Также известно, что Φ(−x) = −Φ(x).

Иногда при составлении таблиц рассматривают функцию

. (%%)

Поскольку

,

получим

,

где знак «+» берется при x> 0, а знак «−» — приx< 0.

Кроме того, при составлении таблиц может быть использована функция («функция ошибок»)

, (%%%)

для которой справедиво равенство .

Будем интересоваться вероятностью попадания числа успехов mв заданный интервал.Теоремаформулируется следующим образом (p, q фиксированы):

.

Задачи

1. Город ежедневно посещает n= 1000 туристов, которые днем идут обедать в один из двух городских ресторанов. Выбор ресторана независимый и равновероятный. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы все пришедшие с вероятностьюp= 0,99 могли бы там пообедать. Сколько мест должно быть в ресторане?

Решение. Обозначим заA_iсобытие: турист с номеромiобедает в данном ресторане (i= 1..1000). Наступление этого события считаем успехом, ненаступление — неудачей. Из условия задачи. Общее число успехов равноm, число мест в ресторане равноk. Переполнение ресторана соответствует событию. Его вероятность по условиюp = 0,01.

Воспользуемся интегральной теоремой М.–Л., чтобы найти вероятность переполнения:

Решая уравнение с использованием таблиц нормального распределения, получаемk536,783. То есть, требуется 537 мест.

2. Известно, что при рождении ребенка мальчик рождается с вероятностью p₁= 0,512. Найти вероятность того, что средиn= 1000 новорожденных число мальчиков превышает число девочек.

Решение. Будем считать рождение мальчика успехом. Тогда

.