1.2 Перестановки, размещения и сочетания

Задача. Сколькими способами можно позвонить поnтелефонным номерам? (без повторов).

Решение. По первому номеру можно позвонитьnспособами, второму — (n − 1) способом, …,n-му — одним единственным оставшимся способом. По правилу произведенияN=n (n− 1) … 1 =n!

Последовательность (a₁a₂…a_n) неповторяющихся чисел [или объектов другой природы], для которых важен порядок следования, называетсяn-перестановкой. Как мы выяснили,n-перестановок ровноn!

Задача. За три медали — золотую, серебряную и бронзовую — борются десять финалистов. Сколькими способами могут быть разыграны медали?

Решение. Золотую медаль можно разыграть 10 способами (она достанется одному из десяти), серебряную — 9 способами (достанется одному из оставшихся девяти), бронзовую — 8 способами. По правилу произведения получим:N= 10 · 9 · 8 = 720.

Обобщим решение. Пусть требуется выбрать mэлементов изn доступных, так чтобы при перестановке элементов получалась новая последовательность (a₁a₂…a_m). Такую последовательность (набор) будем называтьразмещениемизnпоm. Число размещений равно

.

Пусть теперь порядок следования элементов не важен, т.е., например, (1 2 3) = (3 2 1). Такой набор будем называтьсочетаниемизnпоm. Раз при каждой изm! возможныхm-перестановок в наборе мы не получаем нового объекта, то число сочетаний равно

.

называют такжебиномиальными коэффициентами, т.к. они присутствуют в формуле для бинома Ньютона.

Задача. Почтовая корреспонденция доставляется 5 адресатам. Сколько маршрутов?

Ответ: столько же, сколько 5-перестановок. 5! = 120.

Задача. Даны цифры 0, 1, 2, 3. Сколько различных четырехзначных чисел можно сложить из них, если (очевидно) ни одно четырехзначное число с нуля не начинается?

Решение: первую цифру можно выбрать тремя способами (из вариантов: 1, 2, 3). Три оставшиеся цифры — 3! способами. По правилу произведения,N= 3 · 3! = 18.

Задача. Соревнуются 6 команд. Все между собой должны сыграть по одной игре. Сколько игр будет сыграно?

Ответ:.

Замечание.можно интерпретировать как число способов разбиенияn-элементного множества на 2 подмножества: одно — изmэлементов, другое — из (n − m) элементов. Более того, существуютмультиномиальные коэффициенты, отвечающие числу способов разбиенияn-элементного множества наkn_i-элементных множеств:

.

Число способов разбить n-множество на 2 подмножества равно

.

(между прочим, это ровно столько же, сколько подмножеств данного n-множества).

Задача. На плоскости находятся точкиA₁…A₈, из них три лежат на одной прямой. Из оставшихся пяти точек никакие три не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько проведено прямых?

Решение. Всего пар точек. Никакие тройки точек, кроме одной, не принадлежат одной прямой. Поэтому изследует вычесть(все пары из трех точек) и прибавить к полученному значению 1 (т.к. одна прямая все же через три точки проходит). Итого имеемпрямых.

Задача. Сколькими способами можно упорядочить множество чисел 1, 2, …, 2nтак, чтобы четное число имело четный номер (нечетное число, соответственно, — нечетный)?

Решение. Произвольным образом можно переставлять четные и нечетные числа между собой. И тех и другихn. По правилу произведенияN =n!n! = (n!)².

Задача.В ящике 20 деталей, из них 5 стандартных. Сколько имеется способов выбрать набор из трех деталей, в который входит хоть одна стандартная?

Решение. Способов выбрать 3 детали —, 3 нестандартные —. Тогда.

Задача. Из карточек с буквами сложено слово «колокол». Сколько существует различных «слов» из этих букв, если порядокповторяющихсябукв в «словах» неважен? Сколько существует способов собрать из доступных букв слово «колокол»?

Решение. Перестановок символов 7!, но необходимо исключить перестановки, соответствующие трем повторам «о» (3!), двум повторам «к» (2!) и «л» (2!). Тогда получим, что различных слов

.

По правилу произведения, способов собрать «колокол» 2 · 3 · 2 · 2 = 24.

Задача. Прямоугольник размераm × n, находящийся в точкеA(0,0), разделен на клетки. Частица стартует вA. Сколько существует способов «дойти» изAвB(n, m), если допускаются ходы на одну клетку вверх и вправо?

Решение.

Из AвBможно добраться за (m+ n) ходов. Но из всех таких (m+n)-маршрутов требуется выделить такие, которые содержатmходов вверх иnшагов вправо. Их

.