§10. Случайные величины и их распределения

10.1 Введение

Использование вероятностного пространства (Ω,F,P) для решения конкретных задач может оказаться сложным или вообще невыполнимым (рассмотрим, например, столкновения молекул газа — здесь как число элементарных событий, так и число событий, хоть и конечны, но весьма велики). К счастью, для решения задач совершенно не требуется знать, что из себяконкретно представляет вероятностное пространство.

Введем понятие случайной величиныX(ω) — функции аргументаω Ω. Нам потребуется знать, когдаX(ω) <a, т.е., чтобы {X(ω) <a}F. Функция с таким свойством называетсяизмеримойотносительноF. Таким образом, случайная величина есть измеримая функция от элементарного события.

Пусть AR¹,Q(A) =P(X(ω)A); тогда легко показать, чтоQ(A) обладает всеми свойствами вероятностной меры.Q(A) называтраспределением случайной величиныX. По сути, мы ввели новое вероятностное пространство (вместо того, в которое входитω), где событие есть точка на вещественной прямой. Теперь все свойства величиныXопределяются ее распределением.

Случайная величина Xназываетсядискретной(имеет дискретный тип), если она с вероятностью 1 принимает конечное либо счетное множество значений.

Соглашение: здесь и далее будем обозначать случайные величины просто большими буквами:X,Y,Z,A,B, … а запись видаX(ω) будем использовать только тогда, когда это необходимо для понимания материала.

Дискретная случайная величина может быть задана таблицей:

x	x1	x2		xn	
p	p1	p2		pn	

где p_i = P(X = x_i) i = 1, 2, …, n, … (для всех другихiпредполагаетсяp= 0).

Функция p(x) =P(X=x) называетсядискретной плотностью распределенияслучайной величиныX. Для нее справедливы свойства:

1. p(x) ≥ 0.

2. .

Пример. Идет стрельба по мишени. Боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Случайная величинаX — неизрасходованных патронов. Найти плотность распределения.

Решение.

xi	0	1	2	3
pi	(0,4)3	(0,4)2·0,6	0,4·0,6	0,6

Проверка:

.

10.2 Функция распределения случайной величины

Функцией распределенияслучайной величиныXназывают функциюF(x) =P(X <x). Для дискретной случайной величины

.

Общие свойства

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. F(x) ↑ (не убывает)

Доказательство. Пустьx₂ > x₁. Определим событияA₁= {X<x₁},A₂= {X<x₂}.

Ясно, что A₁A₂(изA₁следуетA₂), тогда по свойствам вероятностиP(A₁) ≤

≤ P(A₂). Следовательно,P(X<x₁) ≤P(X<x₂), т.е.F(x₁) ≤F(x₂).

3. а)

б)

Доказательство.

а) Согласно свойству 2), достаточно показать, что из x_n ↑ ∞ следуетF(x_n) ↑ 1.

Введем последовательность событий A_n= {X<x_n}. Нетрудно видеть, что благодаря свойству 2 {A_n} — возрастающая последовательность событий (nA_nA_n−1). Пусть

,

тогда по теореме о непрерывности вероятности

F(x_n) =P(A_n) →P(A) (n→ ∞).

При n→ ∞,x_n ↑ ∞, иX<x_nвсегда, начиная с некоторого момента. Значит,Aесть достоверное событие:P(A) = 1.

б) Аналогичным образом применим свойство непрерывности вероятности (другой его вариант). Пусть x_n ↓ −∞,A_n— убывающая последовательность событий. Тогда, применив аналогичные рассуждения, получим

.

Но что такое в этом случае событие A_n? Это одновременное выполнение всех неравенств видаX<x_n. Рано или поздно хотя бы одно из неравенств нарушится в силуx_n ↓ −∞. Т.е.,P(A) = 0.

4. F(x)непрерывна слева.

Доказательство. Пустьx_n↑xслева. Используем свойство непрерывности вероятности. Введем событиеA_n= {X<x_n}. Легко видеть, чтоA_n— возрастающая последовательность событий, тогда

Объединение A_n — событие, заключающаяся в том, чтоX<x_nхотя бы для какого-нибудьx_n. Так какx_n↑x, тоX<x_nначиная с некоторого места. Легко показать, что при этомX<x. Т.е.,P(A) =P(X<x) =F(x).

Заметим, что эти 4 свойства исчерпывающие. То есть, функция φ(x) есть функция распределения тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойствам 1–4.

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное (абсолютно непрерывное)распределение, если

для некоторой функции p(x), называемойплотностью распределенияслучайной величиныX. Очевидно,p(x) =F′(x).

Свойства плотности распределения

1. p(x) ≥ 0 — следует из того, чтоF(x) неубывающая (следовательно,F′(x) неотрицательная).

2. 

Доказательство(по свойствамF(x)):

.

Заметим, что распределение может быть не только непрерывным или дискретным, но и «разрывным» (рис.):

Рассмотрим график плотности распределения:

Согласно свойству 2),

,

т.е., площадь под графиком плотности распределения равна 1.

Для измеримого множества A(«события») справедливо равенство:

. (*)

В частности,

,

(т.к. площадь прямой равна нулю).

Равенство (*) лежит в основе альтернативного (дифференциального) определения плотности. Действительно, рассмотрим вероятность попадания случайной величиныXв малый интервал [x,x+ ∆x]:

.

Получили:

.