§3. Дискретное вероятностное пространство
Пусть дано Ω = {ω1,…,ωn} — счетное множество элементарных исходов, и задано множество соответствующих им вероятностейP= {pi}. Полагают при этом, что
.
СобытиемAбудем по прежнему называть любое подмножество Ω.Вероятностьюэтого события будем считать величину, равную
.
Набор (Ω, P) называютвероятностным пространством.
Рассмотрим задачуиз п. 2.2. В качестве элементарных исходов возьмем последовательности бросков (конечные наборы из нулей и единиц). Будем кодировать герб единицей, а решетку — нулем. Разумно задать вероятность последовательности ωдлиныnкакp(ω) = 1/2 n.
Тогда вероятность события A: «герб выпал после четного числа бросков» будет
.
Здесь мы заметили, что вероятность появления нечетного числа нулей равна 1/22m − 1, а вероятность появления единицы — 1/2. Применив формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получили результат.
§4. Геометрическая вероятность
Предположим, имеются некоторые элементарные события, которым можно поставить в соответствие геометрические объекты (фигуры):
A↔A′
Ω↔Ω′
Тогда вероятность Aбудет определяться как отношение площадейA′ иΩ′:
.
П
риведемпример —задачу о встрече. Двое
договорились встретиться, причем оба
согласились прийти между 12 и 13 часами.
Каждый приходит в произвольный момент
между 12 и 13, ждет партнера 20 минут, а
затем уходит. Какова вероятность того,
что они встретятся?
Решение. Будем интерпретировать
времена прихода (события) как точки на
плоскости. Тогда всевозможные события
заполнят квадрат со стороной 1. Встреча
возможна, если
.
Окончательно (см. рис.)
.
Заметим, что в силу несчетности множества элементарных событий определения вероятности из §2 и 3 здесь не годятся.
§5. Парадоксы Бертрана
Рассмотрим задачу. Дана окружность единичного радиуса, в которой случайным образом выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина меньше длины стороны правильного треугольника, вписанного в окружность?
Оказывается, 3 различных решения этой задачи приводят к трем различным результатам.
Так как окружность симметрична относительно поворотов, ограничимся теми хордами, которые перпендикулярны одному фиксированному диаметру. Таким образом, хорды определяются своими точками пересечения с диаметром. Значит, можно взять за события точки на диаметре. Впишем правильный треугольник в окружность так, чтобы выбранный нами диаметр был его высотой. Тогда P(A) = r/R = 1/2.
Каждая хорда однозначно определяется координатой ее середины. Большие хорды (большие либо равные по длине стороне правильного треугольника) обязательно пересекают вписанную окружность площадью s=πr2. Площадь исходной окружностиS=πR2. Вероятность того, что хорда большая, равнаP(A0) =s/S=r 2/R2= (r/R) 2= (1/2) 2= 1/4.
Соответственно, искомая вероятность P(A) = 1 − 1/4 = 3/4.
Проведем касательную и рассмотрим все хорды, конец которых находится в точке касания. Пусть этот конец есть вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Тогда вероятность того, что хорда большая, равна P(A0) = 1/3. Стало быть, искомая вероятность равнаP(A) = 1 − 1/3 = 2/3.
В чем же причина проблем? Во фразе «случайным образом выбирается хорда». Поскольку этот «случайный выбор» сторого не определен, то вероятность определяется по-разному в зависимости от метода его определения.
Рис. 5.1. Методы решения, слева направо: 1, 2, 3.