§2. Классическое определение вероятности
2.1 Определение и примеры
Пусть имеется множество Ω, состоящее изnравновероятных1элементарных событий(исходовопыта)ω1, …, ωn.
СобытиемAназывают подмножествоΩ, состоящее изmисходов. Их назовемблагоприятствующимисобытиюA.ВероятностьсобытияA— величина, равная
.
Примеры2
Почтовая корреспонденция доставляется 5 адресатам случайным образом. Какова вероятность того, что каждое письмо попало правильному адресату?
Решение. Элементарное событие — маршрут доставки почты, т.е., 5-перестановка. Следовательно,n= 5! = 120.
Из всех маршрутов лишь один благоприятствуетсобытию «письма попали правильным адресатам». Значит,P(A) = 1/120.
Даны цифры 0, 1, 2, 3. Какова вероятность того, что их случайная перестановка — четырехзначное число? (т.е., не начинается с нуля).
Решение. Элементарное событие — 4-перестановка, значит,n= 4! = 24.
4-перестановок без ведущего нуля m= 3 3! = 18. ТогдаP(A) = 3/4.
Соревнуются 6 команд. Все между собой должны сыграть по одной игре. Какова вероятность попасть на игру любимой команды?
Решение. Всего игр
,
из них одна команда должна сыгратьm= 5. ТогдаP(A)
= 1/3.
В ящике 20 деталей, из них 5 стандартных. Какова вероятность выбора набора из трех деталей, содержащего хоть одну стандартную?
Решение.
.
ТогдаP(A)
= 137/228.
Частица выходит из начала координат и равновероятно движется на каждом шаге вправо либо вверх. С какой вероятностью она достигнет точки (n,m)?
Решение. Количество траекторий
частицы длины (m+n)
легко сосчитать, если закодировать
каждую траекторию двоичным вектором
(например, приписать 0 движению вправо,
1 — вверх). Таких векторов, а, стало быть,
и траекторий
.
А траекторий, ведущих в точку (n,m) —
.
Тогда
.
2.2 Критика классического определения
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно, например:
Монетку бросают до первого выпадения герба. Какова вероятность, что в первый раз герб выпадет за четное число бросков? Как видно, множество событий бесконечное (хотя и счетное).
Множество событий может быть и несчетным. Пусть, например, производится стрельба по мишени — окружности радиуса R, и попадание в каждую точку равновероятно. Какова вероятность попасть в центр мишени два раза подряд?
В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением аксиоматической вероятности.
Но наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными (равновероятными). Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.