Глава 1. Теория вероятностей 3
§1. Комбинаторные формулы 3
1.1 Правило произведения, правило суммы 3
1.2 Перестановки, размещения и сочетания 3
§2. Классическое определение вероятности 5
2.1 Определение и примеры 5
2.2 Критика классического определения 6
§3. Дискретное вероятностное пространство 6
§4. Геометрическая вероятность 7
§5. Парадоксы Бертрана 7
§6. Аксиоматика Колмогорова 8
6.1 Аксиомы событий 8
6.2 Аксиомы вероятности 9
6.3 Свойства вероятности 9
§7. Условная вероятность. Независимость 11
§8. Формула полной вероятности. Формула Байеса 12
§9. Схема Бернулли 15
9.1 Основные определения и примеры 15
9.2 Предельные теоремы в схеме Бернулли 19
§10. Случайные величины и их распределения 22
10.1 Введение 22
10.2 Функция распределения случайной величины 23
10.3 Наиболее употребительные распределения. Замена переменных 25
§11. Распределение случайного вектора (совместное распределение) 31
11.1 Основные определения 31
11.2 Плотность распределения случайного вектора при замене переменных 33
§12. Математическое ожидание случайной величины 35
12.1 Основные определения 35
12.2 Интеграл Лебега (интеграл по вероятностной мере) 36
12.3 Свойства математического ожидания 36
§13. Дисперсия случайной величины 37
§14. Примеры вычисления математического ожидания и дисперсии 38
14.1 Вырожденное распределение 38
14.2 Распределение Бернулли 38
14.3 Биномиальное распределение 38
14.4 Распределение Пуассона 38
14.5 Геометрическое распределение 39
14.6 Равномерное распределение на интервале [a, b] 39
14.7 Показательное распределение 40
14.8 Симметричное показательное распределение 40
14.9 Нормальное распределение 40
14.10 Другие задачи 40
§15. Производящие функции 42
15.1 Основные определения 42
15.2 Свойства 43
15.3 Примеры задач 43
§15. Коэффициент корреляции 44
§16. Многомерное нормальное распределение 47
16.1 Основные определения 47
16.2 Плотность распределения двумерного нормального вектора 49
16.3 Примеры задач 50
§17. Неравенство Чебышева 51
17.1 Вариант с простым доказательством 51
17.2 Классический вариант 51
§18. Виды сходимости в теории вероятностей 51
18.1 Сходимость по вероятности 51
18.2 Сходимость с вероятностью 1 51
18.3 Среднеквадратическая сходимость 51
§19. Закон больших чисел 52
19.1 Общая формулировка 52
19.2 Закон больших чисел Бернулли 52
§20. Характеристические функции 53
20.1 Определение и свойства 53
20.2 Примеры 56
§21. Центральная предельная теорема 58
21.1 Доказательство ЦПТ 58
21.2 Усиление закона больших чисел (ЗБЧ Хинчина) 60
§22. Типичные задачи 60
§23. Условное математическое ожидание 63
23.1 Основные определения 63
23.2 Методы вычисления. Примеры 64
23.3 Свойства 66
23.4 Исследование нормального случайного вектора 67
§24 Цепи Маркова 70
24.1 Основные определения. Формула Чепмена–Колмогорова 70
24.2 Классификация состояний 72
24.3 Период марковской цепи 73
24.4 Предельная теорема для переходных вероятностей марковских цепей 74
24.5 Возвратность цепей Маркова 75
§25 Типичные задачи, 2 78
Глава 1. Теория вероятностей
§1. Комбинаторные формулы
1.1 Правило произведения, правило суммы
Задача. Обед состоит из трех блюд. Причем, есть 5 первых, 4 вторых и 3 третьих блюда. Сколько дней можно съедать по новому обеду (отличающемуся от предыдущих хотя бы одним блюдом)?
Решение. Поскольку выбор блюд осуществляется независимо, каждый раз имеется 5 выборов для первых, 4 — для вторых, 3 — для третьих блюд. Тогда общее число различных обедов равно 5 · 4 · 3 = 60.
Правило независимого выбора, примененное при решении, можно обобщить на произвольное число элементов. Последовательность выбранных элементов имеет вид
(n1,n2, …,nk),
где 1 ≤ n1≤N1,…, 1 ≤nk≤Nk. Тогда можно построить
таких различных последовательностей. Это правило называется правилом произведения. В терминах теории множеств оно формулируется следующим образом:
.
Можно также сформулировать правило суммы: если множестваAiпопарно не пересекаются, то
.
С помощью этого правила можно решить, например, следующую задачу. Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?
Решение. Каждый пожал руку каждому, т.е., совершил 5 рукопожатий. Общее количество рукопожатий получается по правилу суммы:
.
Но мы посчитали каждое рукопожатие дважды, следовательно, было совершено 15 рукопожатий.