§ III.14.3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

1 °. Максвелл обобщил закон полного тока ((III.13.4.2°) и (III.13.4.4°)), предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

2°. Плотность тока смещения (III.7.2.3°)

Током смещения сквозь произвольную поверхность S называется физическая величина, численно равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность: где – поток вектора электрического смещения сквозь поверхность S

Любые непостоянные токи с учетом токов смещения имеют замкнутые цепи. Токи смещения «протекают» в тех участках, где отсутствуют проводники, например, между обкладками заряжающегося или разряжающегося конденсатора. На рис. III.14.2 показаны векторы jсм и линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке (III.14.2, а) и разрядке (III.14.2, б) конденсатора.

3°. Согласно (III.5.3.4°) в любом диэлектрике вектор смещения равен: где Pе – вектор поляризации (III.5.2.2°). Плотность тока смещения в диэлектрике:

В последних формулах первый член или соответственно называется плотностью тока смещения в вакууме, второй член называется плотностью тока поляризации (плотность поляризационного тока). Второй член представляет собой плотность тока, обусловленного упорядоченным перемещением зарядов в диэлектрике – смещением зарядов в молекуле неполярного диэлектрика (III.5.1.3°) или поворотом диполей в полярных диэлектриках (III.5.1.5°). Ток смещения в вакууме и в металлах не выделяет джоулева тепла (III.8.2.6°) и этим отличается от токов проводимости.

4°. Максвелл добавил в правую часть тока в виде (III.13.4.4°) ток смещения и записал этот закон в форме:

Это уравнение называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно показывает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

5°. С помощью теоремы Стокса из векторного анализа: , где dS = ndS, n – единичный вектор нормали к элементарной поверхности dS, и выражения для полного тока: можно записать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

В этих уравнениях rot H имеет тот же смысл, что и rot E в (III.14.2.2°).

6°. В отсутствие токов проводимости (j = 0) первое и второе уравнения Максвелла имеют симметричный вид с точностью до знака в правой части первого и третьего уравнений: ,

37. Квазистационарные токи. Условия квазистационарности.

38.Система ур-й. Максвелла эля эл-магнитного поля. Материальные уравнения.

1º. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля включает в себя помимо уравнений, рассмотренных в (III.14.2.1° и 2º) и (III.14.3.4° и 5°), теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля (III.5.3.3°):

и эту же теорему для магнитного поля (III.10.5.6º): .

Максвелл предположил, что теорема для потока вектора смещения электрического поля справедлива не только для стационарного электростатического поля, но и для переменного электрического поля.

2º. С помощью теоремы Гаусса из векторного анализа можно, введя объемную плотность свободных зарядов (dV – элемент объема), получить третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

В этих формулах div A (где A – произвольный вектор) определяется в декартовых координатах следующим образом:

,где A = Axi + Ayj + Azk, i, j и k – единичные векторы по осям координат.

3°. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения:

I , II , III , IV

4º. Система уравнений Максвелла дополняется материальными уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды. Для изотропной среды в случае макротоков, подчиняющихся закону Ома (III.7.3.4°), эти уравнения имеют вид: , ,

Здесь ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная постоянные в СИ (III.1.2.5°) и (III.10.2.2°), ε и μ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ – удельная электрическая проводимость.

Для решения системы уравнения Максвелла необходимо также задание граничных условий для векторов, характеризующих электромагнитное поле:

, , , , где σ – поверхностная плотность свободных электрических зарядов, n – единичный вектор нормали к границе, направленный из среды 2 в среду 1, t – единичный вектор касательной к границе, j_пов – проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на направление [t n].

При заданных граничных и начальных условиях, т. е. известных значениях векторов E и H в начальный момент времени t = 0, система уравнений Максвелла имеет единственное решение.

5°. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.

В СТО доказывается, что единое электромагнитное поле в различных инерциальных системах отсчета (I.2.1.2°) проявляется различно. В частности, одно из полей – электрическое или магнитное – может отсутствовать в одной системе координат и присутствовать в другой. Формулы преобразований Лоренца для составляющих по осям векторов E, H, D и B электрического и магнитного полей при переходе от неподвижной инерциальной системы K к системе K', движущейся относительно K равномерно и прямолинейно вдоль оси OX со скоростью V,в СИ:

, , ,

, , ,

, , ,

, , .

39. Электромагнитные волны. Свойства бегущих электромагнитных волн.

Волновой процесс. Уравнение плоской волны. Волновое уравнение.

Волной называется процесс распространения колебания (или какого-то другого сигнала) в пространстве.

Представим, например, что во всех точках плоскости YOZ некоторый физический параметр меняется во времени по гармоническому закону : . Пусть колебания этого абстрактного параметра распространяются вдоль оси OX со скоростью v (рис. 13.1.). Тогда в плоскости с координатой x исходные колебания повторятся вновь, но с запаздыванием на секунд: (13.1) Рис. 13.1.

Ф ункция (13.1) называется уравнением плоской волны. Эту важную функцию чаще записывают в таком виде

. (13.2)

Здесь:Е₀ и  — амплитуда и частота колебаний в волне, (t – kx +) — фаза волны,  — начальная фаза, — волновое число, v — скорость распространения волны.

Совокупность всех точек пространства, в которых колебания происходят в одинаковой фазе, определяет фазовую поверхность. В нашем примере это плоскость.

(t – kx +) =  = const — уравнение движения фазовой поверхности в процессе распространения волны. Возьмём производную этого уравнения по времени:

 – k = 0.

Здесь = vф — скорость движения фазовой поверхности — фазовая скорость.

= vф = .

Таким образом, фазовая скорость равна скорости распространения волны.

Фазовая поверхность, отделяющая пространство, охваченное волновым процессом, от той части, куда волна еще не дошла, называется фронтом волны. Фронт волны, как одна из фазовых поверхностей, тоже движется с фазовой скоростью. Эта скорость, например, акустической волны в воздухе составляет 330 м/с, а световой (электромагнитной) волны в вакууме — 3108 м/с.

Уравнение волны Е = Е₀cos(t – kx + ) представляет собой решение дифференциального волнового уравнения. Для отыскания этого дифференциального уравнения, продифференцируем уравнение волны (13.2) дважды по времени, а затем — дважды по координате: ,

Сравнив эти два выражения, обнаруживаем, что .

Но волновое число k = , поэтому . (13.3)

Это и есть дифференциальное уравнение волнового процесса — волновое уравнение. Еще раз отметим, что уравнение волны (13.2) есть решение волнового уравнения (13.3). Волновое уравнение можно записать, конечно, и так: .

Теперь очевидно, что в волновом уравнении коэффициент при второй производной по координате равен квадрату фазовой скорости волны.

Если, решая задачу о движении, мы получаем дифференциальное уравнение типа то это означает, что исследуемое движение — собственные затухающие колебания…

Если при решении очередной задачи возникло дифференциальное уравнение ,

то это означает, что исследуется волновой процесс, и скорость распространения этой волны .

Плоская электромагнитная волна. Свойства электромагнитных волн.

Обратимся теперь к тем уравнениям Максвелла, которые связывают электрические и магнитные поля. Это две теоремы о циркуляции [см. (12.4) и (12.6) ]: , . (13.4)

Выберем в пространстве небольшой прямоугольный контур со сторонами dy, dz, параллельными осям y и z (рис. 13.2.). Запишем первое уравнение системы (13.4) для этого контура.

Рис. 13.2.

Вспомним, что левая часть этого уравнения — циркуляция вектора напряженности магнитного поля по выбранному контуру:

,

а правая — это ток проводимости и поток вектора через площадку (dydz), ограниченную контуром 1-2-3-4-1:

.

Приравняв два последних результата, получим .

Выбрав два других контура с площадями dxdz и dxdy, вновь для них запишем первое уравнение системы (13.4). В итоге это уравнение можно будет представить следующими тремя уравнениями: (13.5)

Поступив точно также со вторым уравнением системы (13.4), заменим его следующей тройкой дифференциальных уравнений:

(13.6)

Уравнения (13.5) и (13.6) — уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Теперь конкретизируем задачу (правильнее было бы сказать — упростим).

Среда — однородный, изотропный диэлектрик. Это означает, что токи проводимости отсутствуют: jx= jy = jz = 0.

Будем рассматривать поля и ,зависящие только от одной координаты x и времени t. Это одномерная задача (рис. 13.3.). Рис. 13.3.

Для этого конкретного случая уравнения Максвелла (13.5) и (13.6) можно упростить и записать в таком виде

Эти уравнения означают, что изменяющееся во времени электрическое поле Dy рождает магнитное поле Hz, направленное вдоль оси z. Переменное магнитное поле By является источником электрического поля, меняющегося вдоль оси z. И так далее. В любом случае эти поля — и — перпендикулярны друг другу.

Примем, для определенности, что электрическое поле направлено вдоль оси y (E = Ey, Ez = 0), а магнитное — вдоль оси z (H = Hz, Hy = 0). Тогда последняя система четырех уравнений упростится до двух: (13.7)

Первое из этих уравнений продифференцируем по времени t, а второе — по координате x:

Сравнивая эти два уравнения, приходим к замечательному выводу:

Или еще понятнее: .(13.8)

Но теперь-то мы знаем, что это дифференциальное волновое уравнение.

Таким образом, решая совместно уравнения Максвелла, мы пришли к выводу, что в однородной изотропной среде электрические (и магнитные!) поля распространяются в виде электромагнитной волны. Теперь известна и скорость этой волны:

Здесь — скорость электромагнитной волны в вакууме ( = 1 и  = 1).

Это значение — с = 3108 м/с, как известно, великолепно подтверждается экспериментом.

Подобное уравнение можно получить и для магнитной составляющей волны: (13.9)

Решения этих волновых уравнений — (13.8) и (13.9) — хорошо известны:

Теперь найдем связь между мгновенными значениями напряженности электрического (Е) и магнитного (Н) полей. Для этого первое уравнение продифференцируем по t, а второе — по x:

Эти уравнения подставим в первое уравнение системы (13.7): Проинтегрировав это равенство, получим

Поскольку речь идет о переменных полях, постоянную интегрирования можно положить равной нулю: С = 0. Тогда последнее уравнение можно будет представить так: или .(13.10)

Этот результат означает, что напряженности электрического (Е) и магнитного (Н) полей в электромагнитной волне пропорциональны друг другу и меняются, следовательно, синфазно.

Подводя итог, сформулируем еще раз основные свойства электромагнитных волн.

Электромагнитные волны поперечны, то есть

Скорость распространения волны в однородной среде

Здесь — скорость электромагнитной волны в вакууме ( = 1,  = 1), 0 и 0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Электрическое и магнитное поле в волне меняются в фазе. Мгновенные значения Е и Н пропорциональны друг другу:

40. Энергия электромагнитных волн. Поток энергии.

Разумно предположить, что энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического поля волны и магнитного. Тогда энергия единицы объема — объемная плотность энергии — может быть представлена такой суммой (см. 4.14 и 10.11): = E + H = .(13.11)

Учитывая, что плотность энергии электромагнитной волны можно записать еще и так:

 = (13.12)

По мере распространения волны, все новые и новые области пространства вовлекаются в волновой процесс. В эти области от источника волна приносит энергию. Выделим в пространстве площадку S и вычислим энергию, которая за время  проходит с волной через эту площадку (рис. 13.4.). Построим на S параллелепипед, ребра которого параллельны скорости распространения волны . Длина ребер равна произведению v. Тогда за время  через площадку S пройдет с волной вся энергия, сосредоточенная в объеме этого параллелепипеда.

Рис. 13.4.

W =V = S S EHS

Здесь мы учли, что и Sn = Scos — площадь нормального сечения параллелепипеда.

Ежесекундно через поверхность единичной площади, перпендикулярную направлению распространения волны, проходит энергия (13.13)

Этот результат принято записывать в виде векторного произведения .(13.14)

Вектор называется вектором Пойнтинга. Его направление совпадает с направлением вектора фазовой скорости. Численно вектор Пойнтинга равен плотности потока энергии, то есть той энергии, которая в единицу времени протекает через единичную площадку, перпендикулярную направлению скорости распространения волны. Напомним, что в электромагнитной волне направления векторов и связаны правилом правого винта.



*

*