§ III.7.1. Понятие об электрическом токе

1º. Электродинамикой называется основной раздел учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, связанные с движением микро- или макроскопических заряженных тел. Важнейшим понятием в электродинамике является понятие об электрическом токе.

2°. Электрическим током называется всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток, возникающий в проводящих средах в результате упорядоченного движения свободных зарядов под действием электрического поля, созданного в этих средах, называется током проводимости. Примерами токов проводимости являются ток в металлах и полупроводниках, связанный с упорядоченным движением «свободных» электронов, ток в электролитах, представляющий собой упорядоченное перемещение ионов противоположного знака.

Конвекционным током называется упорядоченное движение в пространстве заряженных макроскопических тел. Примером такого тока является ток, связанный с движением Земли, которая имеет избыточный отрицательный .заряд, по ее орбите. Особым случаем тока является ток смещения (III.14.3.2°), к которому приведенное выше определение электрического тока не применимо.

4°. Условия, необходимые для появления и существования электрического тока в проводящей среде:

а) наличие в данной среде свободных носителей тока – заряженных частиц, которые могли бы в ней упорядоченно перемещаться. Такими частицами в металлах и полупроводниках являются электроны проводимости (II.3.4.1°); в жидких проводниках (электролитах) – положительные и отрицательные ионы; в газах – противоположно заряженные ионы и электроны;

б) существование в данной среде внешнего электрического поля, энергия которого должна расходоваться на упорядоченное перемещение электрических зарядов. Для поддержания электрического тока энергия электрического поля должна непрерывно восполняться, т. е. необходим источник электрической энергии – устройство, в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию электрического поля.

§ III.7.2. Сила и плотность тока

1°. Силой тока называется скалярная физическая величина, равная отношению заряда dq, переносимого сквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка: .

Электрический ток называется постоянным (постоянный электрический ток), если сила тока и его направление не изменяются с течением времени. Для постоянного тока: ,где q – электрический заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный промежуток времени от 0 до t.

2°. Если электрический ток постоянный, то ни в одной части проводника заряды не должны ни накапливаться, ни убывать. Цепь постоянного тока должна быть замкнутой и должно выполняться условие: , где – суммарный электрический заряд, поступающий за единицу времени сквозь поверхность S1 в объем проводника, заключенный между поперечными сечениями S1 и S2, – суммарный электрический заряд, выходящий из этого объема за единицу времени сквозь поверхность S2.

3°. Направление электрического тока в различных точках рассматриваемой поверхности и распределение силы тока по этой поверхности определяются плотностью тока. Вектор плотности тока j направлен противоположно направлению движения электронов – носителей тока в металлах ^*) и численно равен отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению движения заряженных частиц, к величине dS' площади этого элемента: .

Более общая связь между плотностью тока j и элементом силы тока dI: ,

где dS = n dS – вектор элементарной площадки, n – единичный вектор нормали к площадке dS, составляющий с вектором j угол α.

4º. Сила тока через произвольную поверхность S ,

где jn = j cos α – проекция вектора j на направление нормали n (п. 3º), а интегрирование проводится по всей поверхности S. Если для нахождения силы тока проводимости рассматриваются поперечные сечения проводника, для которых jn = j, то .

5°. Плотность постоянного тока одинакова по всему поперечному сечению S однородного проводника. Для такого тока

.

В цепи постоянного тока плотности тока в двух поперечных сечениях S1 и S2 обратно пропорциональны площадям этих сечений: .

4°. Закон Ома для плотности тока (закон Ома в дифференциальной форме):

.

Плотность тока в проводнике равна произведению удельной электрической проводимости (удельной электропроводности) γ на напряженность электрического поля Е. Величина называется удельным сопротивлением.

Удельная электрическая проводимость в классической электронной теории вычисляется по формуле: , ,где n0 – число электронов в единице объема металла, <λ> – средняя длина свободного пробега электрона (II.3.5.1°), – средняя арифметическая скорость теплового движения электронов (II.3.3.6°), е и т – абсолютная величина заряда и масса электрона.

5°. На длине свободного пробега электрон приобретает под действием поля скорость упорядоченного движения, равную в конце пробега v_макс. При соударении с ионом электрон ее теряет и энергия упорядоченного движения электрона преобразуется во внутреннюю энергию проводника, который нагревается при прохождении по нему электрического тока.

Объемной плотностью тепловой мощности тока w называется энергия, которая выделяется в единице объема проводника за единицу времени. Закон Джоуля-Ленца для объемной плотности тепловой мощности тока: .

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока равна скалярному произведению векторов плотности тока и напряжённости электрического поля.

Объемная плотность тепловой мощности тока не зависит от характера соударения электронов с узлами кристаллической решетки (упругий или неупругий удар (I.3.5.3°)). Из законов сохранения энергии и импульса следует, что энергия ΔW, переданная иону при столкновении электрона с ионом, составляет лишь малую часть энергии Wэл электрона. При неупругом столкновении , при упругом , где m – масса электрона, M – масса иона. В обоих случаях практически .

16. Закон Ома для участка цепи.

1°. В любой точке внутри участка проводника, содержащего источник электрической энергии, существуют электростатическое поле, описываемое кулоновскими силами, с напряженностью Eкул и электрическое поле, описываемое сторонними силами, с напряженностью E_стор.

По принципу суперпозиции полей (III.2.2.4°) напряженность результирующего поля равна: .

Закон Ома для плотности тока (III.7.3.4º) позволяет для участка 1 – 2 однородного проводника с сечением S получить соотношение: ,где I – сила тока, dl – вектор с модулем dl, равным элементу длины проводника, направленный по касательной к проводнику в сторону вектора плотности тока, S – площадь сечения проводника.

2º. Интеграл численно равен работе, которую совершает электростатическое поле при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Согласно (III.3.3.1°)

,где φ1 и φ2 – потенциалы в точках 1 и 2 проводника.

Электродвижущей силой (э. д. с.) E₁₂, действующей на участке цепи 1 – 2, называется линейный интеграл .

Электродвижущая сила E₁₂ численно равна работе, совершаемой при взаимодействиях, описываемых сторонними силами при перемещении по проводнику единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Работа производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике. Поэтому E₁₂ называется электродвижущей силой источника электрической энергии, включенного на участке цепи 1 – 2.

Напряжением U₁₂ на участке цепи 1 – 2 называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой результирующим полем кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль цепи из точки 1 в точку 2 единичного положительного заряда: ,или .

Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в том случае, если на участке нет источников электрической энергии.

Сопротивлением R₁₂ участка цепи между сечениями 1 и 2 называется интеграл .

Для однородного линейного проводника ρ = const, S = const и ,где l12 – длина проводника между сечениями 1 и 2.

3°. Обобщенный закон Ома для произвольного участка цепи: .

Произведение силы тока на сопротивление участка цепи равно сумме разности потенциалов на этом участке и э. д. с. всех источников электрической энергии, включенных на данном участке цепи. В такой форме закон Ома применим как для пассивных участков цепи, не содержащих источников электрической энергии, так и для активных участков, содержащих такие источники.

Если замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии с э. д. с. E и внутренним сопротивлением r, а сопротивление внешней части цепи равно R, то закон Ома имеет вид: .

Закон Джоуля-Ленца: количество теплоты, выделяемое током в проводнике, пропорционально силе тока, напряжению и времени прохождения тока.

Другие выражения закона Джоуля-Ленца: .

17. Классическая теория электропроводности металлов.

1°. Высокая электропроводность металлов связана с тем, что в металлах имеется громадное количество носителей тока – электронов проводимости, образовавшихся из валентных электронов атомов металла (VI.2.3.9°), которые не принадлежат определенному атому, а являются коллективизированными (обобществленными) электронами. В классической электронной теории Друде-Лоренца эти электроны рассматриваются как электронный газ (III.3.4.1°), обладающий свойствами одноатомного идеального газа (II.1.4.1°).

Число электронов проводимости в единице объема одновалентного металла: ,где NА – число Авогадро (IX), A – атомная масса металла, ρ – его плотность. По порядку величины n0 ~ (1028  1029) м-3.

Электроны проводимости в отсутствие электрического поля внутри металла хаотически движутся и сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла (VI.1.1.3°). Считается, что средняя длина свободного пробега электрона <λ> (II.3.5.1º) по порядку величины должна быть равна периоду кристаллической решетки металла, т. е. <λ>  10-10 м.

Средняя кинетическая энергия теплового движения электронов (II.3.2.4º) ,где m – масса, vкв – средняя квадратичная скорость электронов (II.3.2.2°). При температуре Т = 273 К скорость vкв ≈ 103 м/с.

Средняя арифметическая скорость теплового движения электронов (II.3.3.6°) имеет такой же порядок величины.

2°. Электрический ток в металле возникает под действием внешнего электрического поля (III.7.1.4°), которое вызывает упорядоченное движение электронов. Плотность тока j равна заряду всех электронов, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения проводника,

,где n₀ – число электронов проводимости в единице объема, е – абсолютная величина заряда электрона, -средняя скорость упорядоченного движения электронов под действием внешнего электрического поля. При самых больших плотностях токов составляет 10-4 м/с и ничтожно мало по сравнению с тепловыми скоростями электронов (п. 1°).

3°. Электрический ток в цепи устанавливается за время , где L – длина цепи, с – скорость света в вакууме. Время t совпадает с временем установления вдоль цепи стационарного электрического поля и появлением упорядоченного движения электронов сразу во всей цепи. Поэтому электрический ток возникает практически одновременно с замыканием цепи.

4°. Закон Ома для плотности тока (закон Ома в дифференциальной форме): .

Плотность тока в проводнике равна произведению удельной электрической проводимости (удельной электропроводности) γ на напряженность электрического поля Е. Величина называется удельным сопротивлением.

Удельная электрическая проводимость в классической эл-й теории вычисляется по формуле: , ,

где n0 – число электронов в единице объема металла, <λ> – средняя длина свободного пробега электрона (II.3.5.1°), – средняя арифметическая скорость теплового движения электронов (II.3.3.6°), е и т – абсолютная величина заряда и масса электрона.

5°. На длине свободного пробега электрон приобретает под действием поля скорость упорядоченного движения, равную в конце пробега V_макс. При соударении с ионом электрон ее теряет и энергия упорядоченного движения электрона преобразуется во внутреннюю энергию проводника, который нагревается при прохождении по нему электрического тока.

Объемной плотностью тепловой мощности тока w называется энергия, которая выделяется в единице объема проводника за единицу времени. Закон Джоуля-Ленца для объемной плотности тепловой мощности тока: .

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока равна скалярному произведению векторов плотности тока и напряжённости электрического поля.

Объемная плотность тепловой мощности тока не зависит от характера соударения электронов с узлами кристаллической решетки (упругий или неупругий удар (I.3.5.3°)). Из законов сохранения энергии и импульса следует, что энергия ΔW, переданная иону при столкновении электрона с ионом, составляет лишь малую часть энергии Wэл электрона. При неупругом столкновении , при упругом , где m – масса электрона, M – масса иона. В обоих случаях практически .

6°. Закон Видемана-Франца: для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности K (II.3.8.5°) к удельной электрической проводимости γ прямо пропорционально абсолютной температуре Т:

,где k – постоянная Больцмана (II.1.4.5°), е – заряд электрона.

18. Магнитное поле. Магнитная индукция. Сила Лоренса.

1°. Магнитным полем называется одна из форм электромагнитного поля (III.2.1.2°). Магнитное поле создается движущимися заряженными частицами, а также движущимися телами, несущими электрические заряды. Магнитное ноле действует только на движущиеся электрические заряды и на движущиеся заряженные тела.

Источниками магнитного поля являются также переменные электрические поля (токи смещения) (III.14.3.2°).

2°. Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B (вектор индукции магнитного поля). Вектор В вводится одним из трех способов:

а) из закона Ампера (п. 4°),

б) по действию магнитного поля на рамку с током (III.10.4.2°),

в) из выражения для силы Лоренца (III.11.1.3°).

3°. Для графического изображения магнитных полей используется представление о линиях магнитной индукции. Линиями магнитной индукции (силовые линии магнитного поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что вектор B в каждой точке силовой линии направлен по касательной к ней. Направление вектора индукции и линий индукции магнитного поля определяется по правилу Максвелла (правило правого винта, правило буравчика): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению вектора плотности тока в проводнике (III.7.2.3°), то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции и вектора индукции.

Линии индукции магнитного поля ни в одной точке поля не обрываются, т. е. не начинаются и не кончаются. Эти линии либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность, либо бесконечно навиваются на некоторую поверхность, всюду плотно заполняя ее, но никогда не возвращаясь вторично в любую точку поверхности. Подобный случай наблюдается, например, в поле, создаваемом системой из кругового тока и бесконечно прямого тока, проходящего через центр кругового тока перпендикулярно к его плоскости.

Магнитное поле называется однородным (однородное магнитное поле), если вектор B в любой его точке постоянен. В противном случае магнитное поле является неоднородным (неоднородное магнитное поле).

Сила Лоренца

Известно, что на каждый элемент тока в магнитном поле действует сила Ампера: .(9.9)

Если поместить в магнитное поле проводник без тока, то никакой силы мы не обнаружим. Это означает, что магнитное поле «не чувствует» неподвижные заряды. Но стоит им придти в направленное движение, в проводнике появляется ток и на проводник начинает действовать сила (9.9). Можно предположить, что магнитное поле действует на каждый отдельный носитель заряда, направленно движущийся в проводнике, а сила Ампера — интегральный результат сложения всех этих сил. Тогда силу, действующую в магнитном поле на движущийся заряд, можно вычислить, разделив силу Ампера на число носителей заряда dN, движущихся со скоростью на элементе проводника dl: .Здесь dN = nSdl — число носителей заряда. Вспомнив, что I = iS, а плотность тока i = nqVн, представим (9.8) в таком виде: .(9.10)

По определению, вектор совпадает по направлению с векторами плотности тока и скорости направленного движения . Поэтому (9.10) можно переписать ещё и так: .

Теперь, разделив эту силу на число носителей заряда dN, получим силу Лоренца — силу, действующую на заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле : .(9.11)

Сила Лоренца пропорциональна заряду движущейся частицы q, её скорости Vн и величине индукции магнитного поля B. Кроме того, эта сила зависит от угла  между векторами и Рис. 9.2.

(рис. 9.2.):FЛ = qVнBsin.

В любом случае сила Лоренца перпендикулярна и вектору и скорости движения частицы . Последний результат представляет особый интерес. Если  , то работа такой силы всегда равна нулю:

=0.

Здесь  = — угол между векторами и ; следовательно, cos = 0 и работа  = 0. Это тот случай, когда есть сила, есть перемещение точки её приложения, но работа отсутствует, благодаря особой взаимной ориентации этих двух векторов. Действие такой силы не может привести к изменению величины скорости частицы и её кинетической энергии. Действительно, согласно теореме о кинетической энергии, её изменение равно работе силы:d_кин = dA.

Но если работа не производится, то и кинетическая энергия не меняется. Неизменность кинетической энергии означает постоянство скорости частицы.

Если заряженная частица движется со скоростью одновременно в двух полях: и в магнитном и в электростатическом, то сила, действующая на неё — сила Лоренца — будет в этом случае складываться из двух сил (опять принцип суперпозиции — теперь сил!): .(9.12)

19. Магнитное поле. Магнитная индукция. Сила Ампера.

1°. Магнитным полем называется одна из форм электромагнитного поля (III.2.1.2°). Магнитное поле создается движущимися заряженными частицами, а также движущимися телами, несущими электрические заряды. Магнитное ноле действует только на движущиеся электрические заряды и на движущиеся заряженные тела.

Источниками магнитного поля являются также переменные электрические поля (токи смещения) (III.14.3.2°).

2°. Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B (вектор индукции магнитного поля). Вектор В вводится одним из трех способов:

а) из закона Ампера (п. 4°),

б) по действию магнитного поля на рамку с током (III.10.4.2°),

в) из выражения для силы Лоренца (III.11.1.3°).

3°. Для графического изображения магнитных полей используется представление о линиях магнитной индукции. Линиями магнитной индукции (силовые линии магнитного поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что вектор B в каждой точке силовой линии направлен по касательной к ней. Направление вектора индукции и линий индукции магнитного поля определяется по правилу Максвелла (правило правого винта, правило буравчика): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению вектора плотности тока в проводнике (III.7.2.3°), то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции и вектора индукции.

Линии индукции магнитного поля ни в одной точке поля не обрываются, т. е. не начинаются и не кончаются. Эти линии либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность, либо бесконечно навиваются на некоторую поверхность, всюду плотно заполняя ее, но никогда не возвращаясь вторично в любую точку поверхности. Подобный случай наблюдается, например, в поле, создаваемом системой из кругового тока и бесконечно прямого тока, проходящего через центр кругового тока перпендикулярно к его плоскости.

Магнитное поле называется однородным (однородное магнитное поле), если вектор B в любой его точке постоянен. В противном случае магнитное поле является неоднородным (неоднородное магнитное поле).

4°. Сила, с которой магнитное поле действует на проводники с токами, помещенные в это поле, называется силой Ампера.

Закон Ампера: элементарная сила dF, с которой магнитное поле действует на малый элемент длины dl находящегося в этом поле проводника с током, прямо пропорциональна силе тока в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника dl на магнитную индукцию В: (в СИ).

Здесь dl – вектор с модулем dl, направленный в ту же сторону, что и вектор j плотности тока в проводнике (III.7.2.3°).

Сила Ампера F, с которой магнитное поле действует на проводник с током конечной длины, ,где интегрирование проводится по всей длине проводника. Для однородного магнитного поля (п. 3°) (в СИ),где α – угол между вектором плотности тока в проводнике и вектором В.

На рис. III.10.1 показано взаимное расположение векторов dF, В и dl. Если dl  В, то направление силы dF находится по правилу левой руки: если расположить ладонь левой руки так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока, то отставленный большой палец укажет направление силы, описывающей действие магнитного поля на проводник с током.

6°. Сила Ампера не является центральной (I.3.3.4°) в отличие от электростатических сил (III.1.2.2°). Сила Ампера направлена перпендикулярно к линиям магнитной индукции и к проводникам с токами.

20. Контур с током в магнитном поле.