§ III.3.3. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

1°. Элементарная работа δA, совершаемая при бесконечно малом перемещении заряда q' в электростатическом поле, на основании формул в III.3.2.1° и III.3.2.6°: или , .

Н о , где dl0 – элемент длины силовой линии (III.1.1.4°) (рис. III.3.3), поэтому . Производная представляет собой быстроту изменения потенциала вдоль силовой линии, численно равную изменению потенциала, приходящемуся на единицу длины силовой линии.

2º. Проекция E_l вектора Е на направление перемещения dl равна: . Поэтому:

В окрестности данной точки электростатического поля потенциал изменяется наиболее быстро в направлении силовой линии. Вектор Е направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

3°. В более общем виде связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля имеет вид: ,где grad φ – вектор градиента потенциала, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания потенциала и численно равный быстроте его изменения на единицу длины в этом направлении. Если потенциал φ рассматривать как функцию всех трех декартовых координат данной точки поля, то: ,

где i, j и k – единичные векторы по осям OX, OY и OZ. Проекции вектора напряженности электростатического поля на оси координат связаны с потенциалом поля соотношениями: , , .

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Из изложенного выше следует, что эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны силовым линиям.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю.

9. Эл поле в диэлектриках. Поляризация диэлектриков.

§ III.5.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика

1º. Вещества, которые не проводят электрического тока, называются диэлектриками. При не слишком высоких температурах и в условиях, когда диэлектрики не подвержены действию очень сильных электрических полей, в этих веществах, в отличие от проводников, отсутствуют свободные носители электрического заряда.

2º. Молекулы диэлектрика электрически нейтральны и содержат равное число положительных и отрицательных зарядов. Тем не менее молекулы обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекулу диэлектрика можно рассматривать как диполь, имеющий дипольный момент ре = ql (III.2.2.3°), где q – абсолютная величина суммарного положительного (а также суммарного отрицательного) заряда, l – расстояние между центрами тяжести положительных и отрицательных заряженных частиц. Как всякий диполь, молекула вещества создает в окружающем пространстве электрическое поле (III.2.2.3°).

3°. Диэлектрик называется неполярным (неполярный диэлектрик), если электроны атомов в его молекулах расположены симметрично относительно ядер (Н₂, О₂, СС14 и др.). В таких молекулах центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают в отсутствие внешнего электрического поля [l = 0 (п. 2°)] и дипольный момент ре молекулы равен нулю. Если неполярный диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то происходит деформация электронных оболочек (VI.2.3.6º) в атомах (молекулах) и центры тяжести положительных и отрицательных зарядов смещаются друг относительно друга (l ≠ 0). В молекуле (атоме) диэлектрика возникает индуцированный (наведенный) дипольный электрический момент, пропорциональный напряженности Е электрического поля: (в СИ), где α – коэффициент поляризуемости (поляризуемость) молекулы (атома), ε₀ – электрическая постоянная в СИ (III.1.2.7°).

Поляризуемость молекулы зависит только от объема молекулы. Существенно, что α не зависит от температуры. Тепловое движение молекул неполярных диэлектриков не сказывается на возникновении индуцированных дипольных моментов. Молекулы с такими дипольными моментами подобны квазиупругим (индуцированным) диполям.

4°. Полярным диэлектриком называется такой диэлектрик, молекулы (атомы) которого имеют электроны, расположенные несимметрично относительно ядер атомов (Н₂О, НСl, NH₃, CH₃Cl и др.). В таких молекулах центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают, находясь, практически, на постоянном расстоянии l друг от друга. Молекулы полярных диэлектриков по своим электрическим свойствам подобны жестким диполям, имеющим постоянный дипольный момент: ре = const.

§ III.5.2. Поляризация диэлектриков 1°. Если полярный диэлектрик (III.5.1.4°) не находится во внешнем электрическом поле, то в результате хаотического теплового движения молекул векторы их дипольных моментов ориентированы хаотически. Поэтому в любом физически бесконечно малом объеме ΔV^*) сумма дипольных моментов всех молекул равна нулю.

В неполярном диэлектрике, не находящемся во внешнем электрическом поле, вообще не могут возникнуть дипольные индуцированные моменты молекул (III.5.1.3°).

2°. При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в любом элементарном объеме ΔV суммарный дипольный момент молекул становится отличным от нуля. Диэлектрик, который находится в таком состоянии, называется поляризованным (поляризованный диэлектрик). В зависимости от строения молекул (атомов) диэлектрика различается три типа поляризации:

а) ориентационная поляризация в полярных диэлектриках (III.5.1.4°). Внешнее электрическое поле стремится ориентировать дипольные моменты жестких диполей вдоль направления вектора напряженности электрического поля (III.5.1.5°). Этому препятствует хаотическое тепловое движение молекул, стремящееся произвольно «разбросать» диполи. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преимущественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая с увеличением напряженности электрического поля и с уменьшением температуры;

б) электронная (деформационная) поляризация в неполярных диэлектриках (III.5.1.3º). Под действием внешнего электрического поля в молекулах диэлектриков этого типа наводятся индуцированные дипольные моменты (III.5.1.3°), направленные вдоль поля. Тепловое движение молекул не оказывает влияния на электронную поляризацию. В газообразных и жидких диэлектриках практически одновременно с ориентационной происходит и электронная поляризация;

в) ионная поляризация в твердых диэлектриках, имеющих ионные кристаллические решетки (VII.1.1.3°). (Например, NaCl, CsCl и др.). Внешнее электрическое поле вызывает смещения всех положительных ионов в направлении вектора напряженности Е, а всех отрицательных ионов – в противоположную сторону.

3°. Количественной мерой поляризации диэлектрика является вектор поляризации Ре. Вектором поляризации (поляризованностью) называется отношение электрического дипольного момента малого объема ΔV диэлектрика к величине этого объема:

, где P_ei – электрический дипольный момент i-й молекулы, n – общее число молекул в объеме ΔV. Этот объем должен быть настолько малым, чтобы внутри него электрическое поле можно было считать однородным (III.2.1.2°). Одновременно число п молекул в объеме ΔV должно быть достаточно велико для того, чтобы можно было применять статистические методы исследования (II.1.2.2°).

4°. Для однородного неполярного диэлектрика (III.5.1.3°), находящегося в однородном электрическом поле, ,

где n0 – число молекул в единице объема, ре – дипольный момент одной молекулы. Используя формулу для ре (III.5.1.Зº), получим: (в СИ),где κ = п₀α – диэлектрическая восприимчивость вещества.

10. Теорема Гаусса для Эл поля в диэлектриках. Эл-е смещение. Диэл-я. проницаемость.

Выделим в диэлектрике замкнутую гауссову поверхность (рис. 5.9). При однородной поляризации диэлектрика на его поверхности возникнут связанные заряды, но внутри поверхности объёмных поляризационных зарядов не будет.

Рис. 5.9.

С итуация меняется в случае неоднородной поляризации диэлектрика, которую мы здесь не рассматриваем.

Вычислим заряд, покидающий выделенный объём через гауссову поверхность в результате поляризации (рис. 5.10): ,где ’ — локальная поверхностная плотность поляризационных зарядов, возникших на выделенной поверхности dS. Рис. 5.10.

q’ — заряд, покинувший объём.

Тогда внутри гауссовой поверхности возникнет поляризационный заряд: . (5.14)

Сформулируем теперь теорему Остроградского-Гаусса:

. (5.15)

Заряд, определяющий поток вектора напряжённости через гауссову поверхность, в случае диэлектрика складывается из «стороннего» заряда q и заряда q_пол, возникшего в объёме в результате поляризации диэлектрика.

Воспользуемся результатом (5.14) и перепишем (5.15) ещё раз:

Здесь (см. 5.10) — вектор электрического смещения. Значит, теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике можно сформулировать так: . (5.16)

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме несвязанных (свободных) зарядов, заключённых внутри этой поверхности.

Ещё раз напомним, что вектор электрического смещения (индукции) связан с вектором напряжённости электрического поля (5.12): .

Преимущество теоремы Остроградского-Гаусса в форме (5.16) состоит в том, что теперь для расчёта потока не нужно знать величину поляризационных зарядов q_пол, возникающих в диэлектрике. Поток вектора электрической индукции определяется только суммой свободных зарядов q.

11. Условия на границе раздела диэлектриков.

Рассмотрим границу двух диэлектриков с проницаемостями 1 и 2 соответственно (рис. 5.11.).

Р ис. 5.11.

Напряжённость электрического поля в первой среде — . Направление этого вектора задано углом 1 относительно нормали к границе раздела сред.

Определим величину и направление поля во второй среде — .

1. Воспользуемся теоремой о циркуляции электрического поля:

.

Выберем на границе раздела сред замкнутый прямоугольный контур длины l и ширины  (рис. 5.12.). Частично этот контур проходит в первой среде, а частично — во второй. Циркуляция вектора н апряжённости электрического поля по этому контуру равна нулю.

.

Здесь мы учли, что вклад в циркуляцию участков  стремится к нулю, при стремящейся к нулю ширине контура . Отсюда следует, что: .(5.17)

При переходе через границу раздела сред, касательная составляющая вектора напряжённости не меняется.

Для того чтобы выяснить, как меняется нормальная составляющая вектора напряжённости на границе сред, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (рис. 5.13.). Выберем на границе сред замкнутую цилиндрическую поверхность высоты h и с основаниями S1 = S2 = S, лежащими по разные стороны границы раздела диэлектриков. Рис. 5.12.

Согласно теореме Остроградского-Гаусса: . Рис. 5.13.

Но по условию свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют: q_{свободн} = 0, поэтому: .Устремляя высоту цилиндра h к нулю, придём к выводу, что к нулю будет стремиться и поток вектора электрической индукции через боковую поверхность цилиндра. Искомый поток будет складываться только из потоков через основания:

; ; . Но D = ₀E. Следовательно: .

Таким образом, нормальная составляющая вектора напряжённости электрического поля во второй среде равна: (5.18) Теперь, зная составляющие вектора :(5.17): ,

(5.18): нетрудно найти и сам вектор: .

Угол ₂, который вектор напряжённости поля образует во второй среде с нормалью к границе раздела диэлектриков, найдём, разделив уравнения (5.17) и (5.18): (5.19)

Уравнение (5.19) представляет собой закон преломления линий напряжённости электрического поля на границе раздела двух диэлектрических сред.

12. Проводники в электростатическом поле.

1°. В твердых металлических проводниках существуют носители тока – электроны проводимости (свободные электроны), которые под действием внешнего электрического поля могут перемещаться по объему проводника. Электроны проводимости возникают, когда вещество металлического проводника переходит из менее конденсированного состояния в более конденсированное – из газообразного в жидкое или твердое состояние. При этом происходит обобществление валентных электронов (VI.2.3.9°), которые отделяются от «своих» атомов и образуют своеобразный электронный газ.

2°. Электрические свойства проводников в условиях электростатики определяются поведением электронов проводимости во внешнем электростатическом поле. В отсутствии внешнего электростатического поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла (VII.1.1.3°) («атомных остатков») взаимно компенсируют друг друга. Если металлический проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее электростатическое поле.

В любой точке внутри проводника, находящегося в электростатическом поле, напряженность установившегося результирующего электрического поля равна нулю.

3°. На поверхности проводника вектор Е напряженности должен быть направлен по нормали к поверхности. В противном случае касательная составляющая E_τ вектора Е вызовет перемещение зарядов по поверхности проводника, что противоречит статическому распределению зарядов. Из этого результата вытекает ряд следствий:

а) внутри проводника во всех точках Е = 0; на его поверхности во всех точках Е = En (E_τ = 0), где En – нормальная составляющая вектора напряженности;

б) весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, так как в любой точке внутри проводника

и ;

в) поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью (III.3.3.4°), так как для любой линии на поверхности

и ;

г) в заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности. Это следует из теоремы Остроградского-Гаусса (III.2.3.3°), согласно которой суммарный заряд q, находящийся внутри проводника внутри некоторого объема, ограниченного произвольной замкнутой поверхностью S, равен:

, так как D = 0 во всех точках поверхности.

4°. Если электростатическое поле создается заряженным проводником, то смещение и напряженность этого поля вблизи поверхности проводника вычисляются по формулам: , ,где n – внешняя нормаль к поверхности проводника, σ – поверхностная плотность зарядов на проводнике (III.2.2.3°), ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды (III.1.2.4°), ε0 – электрическая постоянная в СИ (III.1.2.7º).

13. Электроемкость уедин-го. проводника. Взаимная емкость. Конденсаторы.