Exam questions

30) Алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Содержание: Вычислительная сложность формулы ДПФ.

Периодичность комплексной экспоненты, как путь к упрощению расчёта.

Выигрыш в числе операций.

31) Спектральный анализ сигналов на основе БПФ. Амплитудный

спектр, спектр мощности и СПМ.

Содержание: Формула ДПФ (прямого и обратного), физический смысл

получаемого разложения.

Амплитудный спектр, спектр мощности и СПМ. Физический смысл,

взаимосвязь, единицы измерения.

32) Последовательность этапов СА на основе БПФ. Повышение

статистической устойчивости спектральной оценки.

Содержание: Типичная последовательность этапов СА на основе БПФ.

Спектральная утечка и использование окон.

Статистическая устойчивость спектральной оценки. Необходимость усреднения для повышения статистической устойчивости. Усреднение по времени и по частоте.

Последовательность этапов при спектральной оценке:

1)применить ФНЧ до АЦП

2)АЦП с частотой дискретизации д

3)взятие исследуемого фрагмента

4)удаление постоянной составляющей и линейного тренда

5)дополнение нулями до N = 2 (N – количество отсчетов)

6)умножение на сглаживающее окно (возможно повторное удаление постоянной составляющей)

7)БПФ

8)вычисление СПМ (если исп. метод Уэлча, то возвращаемся к пункту 3)

9)коррекция СПМ

10)усреднение спектров (если исп. метод Уэлча)

Эффекты, связанные с конечной длиной реализации, называются эффектами утечки. Утечка спектра – это эффект перераспределения энергии в измеренном спектре от одной частотной составляющей к другим. Утечка возникает, если в выборке дискретизированного сигнала, полученной за время сбора данных, не укладывается целое число периодов сигнала. Для уменьшения утечек спектра сигнал во временной области умножают на функцию взвешивания (WindowFunction).

Основа спектрального анализа – математическое разложение исходного сигнала на синусоидальные и косинусоидальные компоненты – производится с помощью дискретного преобразования Фурье (DiscreteFourierTransform – DFT) и быстрого преобразования Фурье (FastFourierTransform – FFT). Использование DFT / FFT для нецелого числа периодов сигнала, например, для 7,5 периодов, дает спектр, в котором возникают утечки, как будто энергия из одной частотной составляющей растекается на все остальные частоты. Это происходит потому, что быстрое преобразование Фурье применяется для одного периода сигнала в предположении непрерывности и периодичности сигнала на бесконечном интервале времени. Искусственные разрывы сигнала (конечная длительность выборки) приводят к появлению высших гармоник, которых нет в исходном сигнале и возникают ложные частоты в диапазоне 0 ÷ /2.

Тип используемой взвешивающей функции (окна) зависит от вида измеряемого сигнала и цели анализа. Правильный выбор взвешивающей функции требует некоторой информации об исследуемом сигнале. В таблице 4-2 приведены основные типы взвешивающих функций, соответствующие типы сигналов и примеры применения.

Компоненты величины ДВПФ представляют собой тип спектра мощности называемый периодограммами, который широко используется для изучения частотных характеристик шума свободных функций, таких как ответы фильтра импульсных и оконных функции. Но периодограммы не обеспечивает обработку коэффициентом усиления при применении к сигналам с шумом или даже синусоиды при низких отношениях сигнал-шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на данной частоте не уменьшается, а количество выборок, используемых при вычислении возрастает. Это может быть уменьшено путем усреднения по времени (метод Уэлча) или по частоте (сглаживание).

Метод Уэлча

Вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм — averagedmodifiedperiodogrammethod) организуются следующим образом:

1)Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как правило, на практике используется перекрытие на 50 %. Строго говоря, оптимальная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции.

2)Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию.

3)Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы.

4)Периодограммы всех сегментов усредняются.

Дисперсия оценки, получаемой методом Уэлча, уменьшается примерно пропорционально числу сегментов. Благодаря перекрытию по времени в методе Уэлча используется больше сегментов, поэтому дисперсия оценки спектра плотности мощности оказывается меньше, чем для метода Бартлетта.

Метод Бартлетта

33) Спектральный анализ вариабельности сердечного ритма (ВСР).

Содержание: Задача спектрального анализа ВСР.

Спектральные параметры VLF, LF и HF.

Особенности сигнала сердечного ритма.

Получение равномерно дискретизованного сигнала, вычисление СПМ и

частотных параметров ВСР).

Анализ вариабельности сердечного ритма (ВСР) является методом оценки состояния механизмов регуляции физиологических функций в организме человека и животных, в частности, общей активности регуляторных механизмов, нейрогуморальной регуляции сердца, соотношения между симпатическим и парасимпатическим отделами вегетативной нервной системы. Адаптационные реакции индивидуальны и реализуются у разных лиц с различной степенью участия функциональных систем, которые обладают в свою очередь обратной связью изменяющейся во времени и имеющей переменную функциональную организацию.

Характерной особенностью метода является его неспецифичность по отношению к некоторым формам патологии и высокая чувствительность к самым разнообразным внутренним и внешним воздействиям. Метод основан на распознавании и измерении временных интервалов между RRинтервалами электрокардиограммы, построении динамических рядов кардиоинтервалов (кардиоинтервалограммы) и последующего анализа полученных числовых рядов различными математическими методами. Здесь простота съема информации сочетается свозможностью извлечения из получаемых данных обширной и разнообразной информации о нейрогуморальной регуляции физиологических функций и адаптационных реакциях целостного организма.

Анализ ВСР представляет собой метод исследования статистических и частотных свойств сигнала, образуемого последовательностью интервалов времени между смежными сокращениями сердца, относящимися к фоновому ритму.

Задача спектрального анализа ВСР: получениеколичественныхиндикаторов активности различных отделов вегетативной нервной системы человека для решения многих медицинских диагностических задач.

Интервалы времени между последовательными сокращениями сердца (RRинтервалы) обычно измеряются по ЭКГ как расстояния между вершинами R- зубцов QRS-комплексов. Если за период регистрации ЭКГ в сигнале наблюдались нарушения сердечного ритма или помехи, вызвавшие ошибки в определении RR-интервалов, то участки сигнала, соответствующие этим событиям, должны исключаться из процедуры анализа. В связи с этим при анализе ВСР в качестве входных данных используется не непосредственно

последовательность RR-интервалов, а так называемая последовательность NN-интервалов, т. е. интервалов между смежными QRS-комплексами фонового ритма.

Для анализа ВСР наиболее широкое применение находят частотные методы. При этом в качестве основных спектральных показателей используются суммарные мощности сигнала в трех диапазонах частот: VLF (VeryLowFrequency, от 0.003 до 0.04 Гц), LF (LowFrequency, от 0.04 до 0.15

Гц) и HF (HighFrequency, от 0.15 до 0.4 Гц), а также ряд показателей, производных от них.

Спектральные параметры VLF, LF и HF:

HF (HighFrequency) — высокая частота, быстрые волны. Их длительность составляет 2,5-6,6 сек., а частота колебаний — 0,15-0,4 Гц. Обычно на графике выделяются зеленым цветом.

LF (LowFrequency) — низкая частота, средние волны. Их длительность составляет 10-30 сек., а частота колебаний — 0,04-0,15 Гц. На графике обычно обозначаются красным цветом.

VLF (VeryLowFrequency) — очень низкая частота, медленные волны. Их длительность превышает 30 сек., а частота колебаний менее 0,04 Гц. На графике обычно выделяют голубым цветом.

Особенности сигнала сердечного ритма:

1)значения интервалов не являются равномерно дискретизированными отсчетами;

2)на кардиограмме часто встречаются нарушения сердечного ритма;

3)кардиограмма – низковольтный сигнал, воздействуют помехи (сетевая наводка, дрейф изолинии (из-за плохого контакта электрода с кожей), помехи из-за мышечной дрожи, импульсные помехи и др.)

Так как анализируемая последовательность интервалов времени не представляет собой равномерно дискретизованный сигнал, традиционно используемый при частотном анализе, то к ней нельзя непосредственно применить общепринятые методы цифровой обработки. В связи с этим на первом этапе анализа из последовательности NN-интервалов получают равномерно дискретизованный сигнал (рекомендованная частота дискретизации составляет 4 Гц), который рассматривается как описание восстановленной функции управления сердечным ритмом. Именно исследование этой функции, порождающей последовательность регистрируемых RR-интервалов, является предметом анализа ВСР. Для получения равномерно дискретизованного сигнала наиболее часто используется сплайн-интерполяция.

Последовательность NN-интервалов (или RR-интервалов) принято графически отображать в виде ритмограммы (тахограммы), на которой значения интервалов изображаются в виде вертикальных линий, а по оси абсцисс откладываются порядковые номера соответствующих интервалов.

Для получения оценок спектральных показателей вариабельности сердечного ритма используют как непараметрические (классические) методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, так и параметрические методы, в основе которых лежит модель авторегрессии – скользящего среднего.

Если в анализируемом фрагменте сигнала встречаются интервалы, связанные с нарушениями ритма, или интервалы, неверно определенные из-за помех, необходимо предварительно скорректировать сигнал. В противном случае в результирующих спектральных оценках могут появиться завышенные значения высокочастотных составляющих, так как искажения, вызванные указанными причинами, обычно проявляются в виде резких всплесков или впадин в последовательности NN-интервалов. В случае относительно коротких промежутков времени между оставшимися NN-интервалами дефектные значения не используют в качестве узлов интерполяции, но при этом сохраняют непрерывность сигнала во времени. Если же искажается достаточно продолжительный отрезок сигнала, то либо добавляют промежуточные узлы интерполяции, либо отказываются от анализа данной реализации сигнала.

Равномерно дискретизованный сигнал чаще всего получают с помощью математического аппарата сплайн-интерполяции. Для равномерной дискретизации рекомендуется частота отсчетов 4 Гц. На рис.1 иллюстрируется процедура перехода от последовательности NN-интервалов к равномерно дискретизованному сигналу. Верхний график (а) представляет собой фрагмент ритмограммы NN-интервалов, на среднем графике (б)показан процесс получения сплайна, проходящего через узловые точки, соответствующие значениям NN-интервалов, а нижний график (в)