2. Означення похідної та її геометричний зміст

Похідною функції y = f(x) за аргументом х називають границю відношення приросту функції ∆у до приросту аргументу ∆x, коли ∆x довільним чином прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її позначають через f´(x), або у´, або у´х або , або

Математично похідна функції визначається за формулою:

Механічний зміст похідної: похідна S´(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S = S(t).

Геометричний зміст похідної: похідна f´(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f(x) в точці з абсцисою х.

Економічний зміст похідної: похідні V´(x), D´(x) та Р´(х) дорівнюють маргінальній вартості, доходу, прибутку, відповідно.

3. Зв’зок диференційованості функції з неперервністю

Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна:

Доведення: якщо y = f(x) диференційована в , то існує

В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної лише на нескінченно малу величину , то маємо:

Оскільки - стала, то з властивостей нескінченно малих випливае,що ∆x і є нескінченно малими величинами. Звідси ∆у→0, коли ∆x→0, тобто функція y = f(x) неперервна в точці .

Наслідок: З цієї теореми випливає,що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідної, тобто вона не диференційована.

4. Основні правила диференційювання

1. Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто С´=0

2. Якщо кожна із функцій (n – нескінченне число) диференційована в деякій точці х, то її алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних, тобто

3. Якщо кожна з функцій u(x) та V(x) диференційована в точці х, то добуток цих функцій також має похідну в точці х, причому цю похідну знаходять за формулою:

4. Якщо u(x) та V(x) мають похідні в точці х і V(x) 0, то частка цих функцій також має похідну в точці х, яку знаходять за формулою:

5. Якщо у=f(u), u= (x) і функції f та диференційовані функції своїх аргументів, то існує похідна по складної функції у, причому вона дорівнює добутку похідної функції у по проміжному аргументу u та похідної функції по аргументу х, тобто

5. Таблиця похідних

6. Поняття диференціала функції та його застосування до наближених обчислень. Геометричний зміст диференціала

Розглянемо формулу (9.1)

(9.2)

Диференціалом функції y=f(x) називають головну лінійку по ∆x частину приросту (11.2) і записують так:

;

(9.3)

(9.4)

Застосування до наближених обчислень. Порівняння y з dy показє, що

Звідси

Ця формула застосовується для наближеного обчисленя значень функції при малому прирості x незалежної змінної x.

Геометричний зміст диференціала. Геометрично диференціал – це приріст ординати дотичної до кривої, проведеної в точці М(x,y).

Приклад: знайти диференціал функції