Тема 10. Застосування похідних до дослідження функції.

План

1. Монотонність функції.

2. Екстремум функції.

3. Опуклість, ввігнутість функції.

4. Точки перегину.

5. Загальна схема дослідження функції та побудова графіка.

6. Найбільше і найменше значення функції заданої на відрізку.

7. Задачі на найбільше і найменше значення.

Монотонність функції.

Означення 1.Функцію y = f (x) називають зростаючою (спадною) в проміжку (a,b), якщо більшому значенню аргумента в цьому проміжку відповідає більше (менше) значення функції, тобто якщо із нерівності х₂ > x₁ випливає нерівність f (x₂) > f (x₁), то функція f(x) – зростаюча, а якщо f (x₂) < f (x₁), то функція f(x) – спадна.

У

Х

b

0

Необхідна ознака зростання (спадання) функції.

Якщо диференційована функція зростає (спадає) в деякому проміжку, то похідна цієї функції невід’ємна (недодатня) в цьому проміжку.

Достатня ознака зростання (спадання) функції.

Якщо похідна диференційовної функції додатня всередині деякого проміжку, то функція зростає в цьому проміжку.

Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині деякого проміжку, то функція спадає в цьому проміжку.

Означення 2. Зростаюча або спадна функція називається монотонною. Проміжки, в яких задана функція зростає або спадає, називають проміжками монотонності цієї функції.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції y = f(x) доцільно дотримуватись такого порядку дій :

1. знайти похідну f ^‘ (x);

2. знайти корені рівняння f ^‘ (x) = 0;

3. визначити знак похідної f ^‘ (x) в кожному із інтервалів, на які поділяється область існування функції f (x) знайденими коренями рівняння f ^‘ (x) = 0;

4. за одержаними знаками похідної зробити висновок, в якому інтервалі функція зростає, а в якому спадає.

Функція y = f(x) називається монотонною на відрізку [а; b], якщо на цьому відрізку вона або зростаюча або спадна.

Ф ункція y = f(x) називається монотонною зростаючою на відрізку [а; b], якщо більшому значенню х відповідає більше значення функції х₁ < х₂; f(х₁) < f(x₂)

Функція y = f(x) називається монотонно спадною на відрізку [а; b], якщо більшому значенню х відповідає менше значення функції

х₁ < х₂; f(х₁) > f(x₂)

Теорема 1. Якщо y = f(x) монотонно зростаюча на відрізку [а; b], то для будь-яких х з цього відрізку, похідна більша нуля.

(10.1)

Якщо для будь-яких х з відрізку [а; b], коли функція спадна, похідна менша нуля.

*Приклад 1. Витрати виробництва визначені функцією

V (x) = 2x³ – 6x + 7

Знайти її інтервали монотонності.

Розв’язування. Задана функція існує при х (- ∞, ∞), але має економічний зміст лише для х > 0.

Знаходимо похідну: V ^’ (x) = 6x² – 6 = 6(x² – 1).

Із 6(x² – 1) = 0 х₁ = -1, х₂ = 1.

Ці значення поділяють вісь 0х на інтервали (- ∞,-1), (-1,1),(1, ∞). В кожному з цих інтервалів V ^’ (x) має постійний знак.

При х (- ∞,-1) V ^’ (x) >0,

при х (-1,1) V ^’ (x) < 0,

при х (1, ∞) V ^’ (x) >0.

Отже, функція V (x) зростає при х (- ∞,-1)U(1, ∞) і спадає в інтервалі (-1,1). З економічної точки зору, ця функція спадає в інтервалі (0,1) і зростає в (1, ∞).

Екстремум функції.

Означення 2. Функція f(x) має при х = х₀ максимум (мінімум), якщо існує такий окіл точки х₀ , для усіх точок х якого виконується нерівність

f (х₀) > f (x) для максимуму,

f (х₀) < f (x) для мінімуму.

Узагальненим терміном понять максимуму та мінімуму є екстремум.

Точка х₁ називається точкою максимуму f (x), якщо існує такий окіл точки х₁, що для будь-яких точок з цього околу значення функції менше ніж в х1: f(x) ≤ f(x₁).

Точка х₂ називається точкою мінімуму, якщо існує такий окіл х₂, що для будь-яких точок з цього околу f(x) ≥ f(x₁).

Щоб визначити, в яких з критичних точок функція має екстремум, треба застосувати достатні умови існування екстремуму.

Достатні умови екстремуму полягають у наступному:

Якщо f(x) неперервна в околі критичної точки х₀ і дифереційовна в усіх точках цього околу, окрім, можливо, точки х₀ , і якщо при переході х через х₀ похідна змінює знак з „+” на „-”, то f(x₀) = y_max ; якщо у^’ змінює знак з „-” на „+”, то то f(x₀) = y_min ; якщо у^’ не змінює знака, екстремуму немає.

Теорема 2 (необхідна для екстремуму). Якщо х0 є точкою екстремуму функції y = f(x), то виконується умова або - не існує (10.2)

Зауваження: умова (10.2) є тільки необхідною, але не достатньою, тобто якщо ми знаємо, що точка х₀ екстремальна, то умова (10.2) обов’язково виконується, але навпаки – не завжди вірно. Точки, що забороняють умову (10.2) називають підозрілі на екстремум, або критичні. Щоб знати, чи буде критична точка екстремальною потрібно дослідити достатню умову екстремуму.

Теорема 3 (достатня умова екстремуму).

Критична точка х0 буде точкою екстремуму, якщо при переході через цю точку похідна змінює знак, причому:

1. якщо похідна змінює знак „+” на „-„, то точка х1 – точка max;

2. якщо похідна функції змінює знак з „-„ на „+”, то точка х1 – min.

*Приклад 2: Знайти найбільше і найменше значення функції

y = x³ – 9x² = 24x – 10, 0 ≤ х ≤ 3.

Розв’язання.Знаходимо критичні точки функції :

y^/ = 3x² – 18x + 24 = 0 ; х₁ = 2, х₂ = 4.

Із знайдених точок берем точку х = 2, бо 2 € [0,3].

Обчислюємо f (2) = 10, f (0) = -10, f (3) = 8. Порівнюємо числа 10, -10,8. Знаходимо min_{x € [0,3]} y = f (0) = -10, max _{x € [0,3]} y = f (2) = 10.

*Приклад 3: Знайти точки екстремуму та інтервали зростання та спадання такої функції:

f (х) = хе^{– х} .

f ^/ (х) = е^{– х} - хе^{– х} = е^{– х}(1 – х)

З рівняння f ^/ (х) = 0 знаходимо критичні точки функції f (х). У цієї функції існує одна критична точка х = 1. Так як f ^/ (х) > 0 для х < 1 і f ^/ (х) < 0 для х > 1, то функція f (х) зростає на проміжку [ - ∞; 1] та спадає проміжку [ 1;+ ∞]. З цього випливає, що точка х = 1 є точкою максимума функції f (х).

Відповідь: f (х) зростає на [ - ∞; 1], спадає на[ 1;+ ∞]; х = 1 - точка максимума.

У зв’язку з тим, що екстремум функції – локальний оптимум дуже часто використовується в економічній практиці, дамо схему дослідження функції на екстремум :

1.знаходять похідну f^/ (х) заданої функції;

2.знаходять критичні точки першого роду (значення х, при яких f^/ (х) не існує або дорівнює 0);

3.визначають знак f^/ (х) в околі кожної критичної точки;

4.роблять висновок, чи має функція екстремум у знайдених точках і який саме (мінімум чи максимум);

5.обчислюють екстремальні значення функції в точках екстремуму.

Доцільно у ході дослідження використовувати таблицю.

Опуклість, ввігнутість функції.

Нехай f(х) диференційовна функція на інтервалі (a,b). Графік функції f(x) називається опуклим уверх або опуклим на інтервалі (a,b), якщо він розташований нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу. Графік функції f(x) називається вгнутим униз або вгнутим на інтервалі (a,b), якщо він розташований вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу.

Функція y = f(x) називається ввігнутою на відрізку [а;b], якщо для будь-яких х з цього відрізка графік функції знаходиться над дотичними в даній точці х₂.

y = f(x) – опукла на відрізку [а;b], якщо графік функції знаходиться під дотичною в точці х₂.

Достатня умова опуклості (вгнутості) графіка функції. Нехай функція f(x) двічі диференційовнана інтервалі (a,b). Тоді, якщо:

1. f ^” (х) < 0 на (a,b) , то графік функції f(x) є опуклим на (a,b);

2. f ^” (х) > 0 на (a,b) , то графік функції f(x) є вгнутим на (a,b).

І з означення точки перегину та достатніх умов опуклості (вгнутості) випливає, що, коли х₀ – абсциса точки перегину графіка функції у = f(x), то друга похідна дорівнює нулю, нескінченності або не існує.

Теорема 4. Якщо в усіх точках інтервала (a,b) f ^” (х) > 0, то крива y = f(x) є угнутою на цьому інтервалі; якщо f ^” (х) < 0 на деякому інтервалі, то крива y = f(x) опукла на цьому інтервалі.

Означення 3. Значення х, при яких f ^” (х) = 0 або не існує, називають точками другого роду функції f(x).

Точки перегину.

Точки, в яких графік функції змінює ввігнутість на опуклість і навпаки, називаються точками перегину.

Достатня умова точки перегину. Нехай функція f(x) двічі диференційовна в деякому околі О ( х₀,δ ) критичної точки другого роду х₀, за виключенням, можливо, самої точки х₀. Тоді, якщо f ^” (х) в інтервалах ( х₀ – δ, х₀), ( х₀, х₀ + δ) має протилежні знаки, то х₀ – абсциса точки перегину. Якщо ж f ^” (х) має однаковий знак у цих інтервалах, то точка з абсцисою х₀ не є точкою перегину.

Х₀ – точка перегину.

Теорема 5. Якщо функція y = f(x) вгнута на відрізку [а; б], то для будь-яких х [а; б] друга похідна від цієї функції більша нуля.

(10.4) х [а; б]

Теорема 6. Якщо функція y = f(x) опукла на відрізку [а; б],то для будь-яких х [а; б] друга похідна менше нуля.

Теорема 7. (необхідна умова перетину).

Якщо х0 є точкою перетину функції y = f(x), то виконується умова:

або - не існує (10.4),

то ця точка підозріла на перетин.

Теорема 8 (достатня умова перетину)

Якщо для х₀ виконана умова (10.4) і при переході через цю точку похідна змінює знак, то х₀ – точка перетину.

Правило. Точка х = х₀ буде точкою перегину кривої y = f(x), якщо:

1. f ^” (х₀) = 0 або не існує;

2. знаки f ^” (х) зліва ( х < х₀) та справа ( х > х₀) різні.

Якщо f ^” (х) не змінює свій знак при переході аргумента через х_0, то при х = х₀ перегину не буде.

Умову 1 цього правила називають необхідною умовою, а 2 – достатньою умовою існування точок перегину графіка функції.

Загальна схема дослідження функції та побудова графіка.

Для науково обґрунтованого дослідження функції та побудови її графіка доцільно дотримуватись такої схеми :

*Приклад 4. Дослідити функцію f(x) = та побудувати її графік.

1. Область визначення функції D(f) = ( - ∞,2) U (2,+ ∞).

На iнтервалi ( - ∞,2) f(x) < 0, на iнтервалi (2,+ ∞) f(x) > 0.

2. Функція не є парною, не є непарною, бо:

f(-x) = = ,

тобто f(-x) ≠ f(x), f(-x) ≠ - f(x).

Функція неперіодична, бо не існує такого числа Т, Т > 0, щоб

F (х + Т) = f(x), Ұх є D(f).

Отже, маємо функцію загального вигляду.

3. Точки перетину з осями координат (—1,0) та (0, ). 4. Точка розриву функції х = 2. Маємо розрив другого роду, бо

lim_x→2-0 f(x) = - ∞, lim_x→2+0 f(x) = + ∞. 5. Вертикальна асимптота х = 2 , бо lim_x→2f(x) = ∞. Похилі асимптоти шукаємо у вигляді у = kx + b. k = lim_{x→± ∞} = lim_{x→± ∞} =1.

b = lim_{x→± ∞} [f(x) - kx] = lim_{x→± ∞} = lim_{x→± ∞} =4.

Отже, у = х + 4 — похила асимптота. 6. Знаходимо точки екстремуму та визначаємо інтервали монотонності функції.

f ^|(x) = = = .

Для знаходження критичних точок розв’язуємо рівняння, f ^|(x) = 0,тобто (х+1)(х-5)=0, (х-2)² ≠ 0,звiдки х₁ =-1, х₂ =5. Критичні точки х₁ = -1, х₂ = 5 та точка х = 2 (це точка розриву функції) поділяють область визначення функції на інтервали, якi вказані на наведеній нижче схемі. На цій схемі над віссю Ох вказано знак похідної функції у’ = f ^|(x) , пiд віссю Ох показана поведінка функції у = f(x) на вказаних інтервалах. Тут стрілками вказується , що функція зростає чи спадає. Слова max min вказують вiдповiдно точки, де функція досягає максимуму чи мiнiмуму.

Отже, y_max = у(-1) = 0, y_min = y (5) = 12. На проміжку (-∞, 1)U (5, +∞) функція зростає; на промiжку (-1,2) U (2,5) функція спадає. 7. Знаходимо точки перегину графіка кривої та визначаємо інтервали опуклості та вгнутості. f ^|(x) = = =

f ^||(x) ≠ 0;

f ^||(x) < 0 на промiжку (-∞, 2), тобто крива опукла на цьому промiжку; f ^||(x) > 0 на промiжку (2, +∞) , тобто крива вгнута на цьому промiжку. Точок перегину немає, бо точка х = 2, в околі якої змінюється знак другої похідної, є точкою розриву функції. Результати цього дослідження наведено на схемі.

0 2 х

U точка розриву ∩

Тут знак ∩ означає опуклість, знак U вгнутість. 8. Проводимо додаткові дослідження: а) на iнтервалi(-∞,2), f(x) <0 (графік нижче осі Ох)на інтервалі (2, +∞)

f(x) > 0(графік вище осі Ох); б) дослідимо поведінку функції на нескiнченностi:

lim_{x→± ∞} f(x) = = ± ∞.

На основі дослідження поступово будуємо графік функції f(x) =

Найбільше і найменше значення функції заданої на відрізку.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [а;b], то вона досягає на цьому відрізку своїх найбільшого та найменшого значень. Для знаходження цих значень треба:

1.Знайти всі критичні точки функції f(x) на відрізку [а;b];

2.Обчислити значення функції f(x) у критичних точках;

3. Обчислити значення функції f(x) у точках х = а, х = b;

4.Серед обчислених значень вибрати найбільше та найменше.

*Приклад 5. Знайти найбільше М та найменше m значення функції:

f(x) = х³ – 3х² – 9х = 35 на відрізку [-4,4].

Знаходимо критичні точки даної функції, що лежать всередині [-4,4] і обчислюємо значення функції в цих точках:

F^!(x) = 3х² - 6х – 9;

3х² - 6х – 9 = 0;

х = -1, х = 3 – критичні точки функції, що належать заданому відрізку;

f (-1) = 40, f (3) = 8.

Обчислюємо значення даної функції в точках х = -4, х = 4 – межах відрізка [-4,4] : f (-4) = -41, f (4) = 15.

З отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше та найменше.

Отже, М = f (-1) = 40, m = f (-4) = -41.

Задачі на найбільше і найменше значення.

Задача № 1. Знайти такий циліндр, який мав би найбільший об’єм при заданій повній поверхні S.

Нехай радіус основи циліндра R=x, а висота H=у.

Тоді:

S= 2S_осн +S_бічн = 2пх²+2пху.

Звідси:

у= .

Отже, об’єм циліндра представиться так:

V=V(x) = S_осн H= пх² =

Задача зводиться до дослідження функції V (х) на максимум при х> 0. V ^!(x) = ; =0 ; .

Це критична точка. Дослідимо її на екстремум.

V ^!!(x) = -6пх ; V ^!! = = - < 0.

Отже, в точці функція має максимум, тобто об’єм має найбільше значення. Висота циліндра при цьому така: H = у= = 2 = 2R.

Отже, висота Н циліндра дорівнює 2R діаметру основи циліндра. За цієї умови циліндр має найбільший об’єм.

Питання для самоперевірки.

1.Яку функцію називають зростаючою?

2. Яку функцію називають спадною?

3.Назвіть необхідну ознаку зростання функції.

4. Назвіть необхідну ознаку спадання функції.

5.У чому суть достатньої ознаки зростання функції?

6. У чому суть достатньої ознаки спадання функції?

7.Яку функцію називають монотонною?

8. Яку функцію називають монотонно зростаючою?

9. Яку функцію називають монотонно спадною?

10.Що таке екстремум?

11.Назвіть достатні умови екстремуму.

12.Яку функцію називають опуклою (вгнутою)?

13. Назвіть достатні умови опуклості (вгнутості) функції.

14.Що таке точки перегину?

15.У чому полягає достатня умова точок перегину?