Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

а функция <р(х) интегрируема на отрезке [а, Ъ]. Показать, что справедлива формула

Ъ d d Ъ

j f >p(x)f(x,y)dxdy = j dxj ip(x)f(x, y) dy = j d y j<p(x)f(x,y) dx.

ГЛ А В А XI

КР И В О Л И Н Е Й Н Ы Е

И П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы

§ 5 0 . К р и в ол и н ей н ы е и н тегр ал ы

1. Е в к л и дов о п р о ст р а н ст в о . Из курса аналитической геомет­ рии [7] известно, что в каждой паре точек А и В евклидова прост­

ранства ставится в соответствие вектор . 1/}. Для векторов опреде­ лены операции сложения и умножения на вещественные числа, для любых двух векторов определено их скалярное произведение. Если

расстояние между точками определить как р(А,В) = \АЁ\, то бу­ дут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и все введенные для метрического пространства понятия переносятся и на евклидово пространство.

Если в евклидовом пространстве фиксирована точка О, то положе­

ние любой точки А определяется вектором o i , и евклидово прост­ ранство можно отождествить с векторным пространством Е 3. Ба­ зис из трех линейно независимых векторов определяет координатную систему в евклидовом пространстве. Предполагается, что простран­ ство ориентировано при помощи правой тройки векторов. Свойства объектов, не зависящие от выбора координатной системы, называют­ ся инвариантными.

Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости, образует линейное двумерное пространство Е 2. Базис из двух линей­ но независимых векторов определяет координатную систему в Е 2. Правая пара векторов определяет ориентацию Е 2.

2. Г ладки е и к у со ч н о гл адк и е к ри в ы е. Напомним, что гладкая кривая в R3 задастся векторным уравнением (§ 22)

где вектор-функция г (t) является непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, (3\, причем r'(t) ф 0 на [а,(3\. В каждой точке гладкой кри­ вой определена касательная.

Гладкую кривую можно задать и тремя скалярными уравнениями

где функции tp(t), фф) и у(7) непрерывно дифференцируемы на [а,ф\

и (lfi'(t))2 + {Ф'{i))2 + (x'(t))2 > 0 на [а,/3\.

задает ту же самую гладкую кривую, что и уравнение (1 ), если оно получено из уравнения (1 ) при помощи допустимой замены парамет­ ра t = t(r). Допустимой называлась такая замена параметра t = t(r), что функция t(r) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ь], ото­ бражает этот отрезок на отрезок [а,(3\ и t'(т) > 0.

З а м е ч а н и е . Иногда имеет смысл расширить класс допустимых замен параметров. Говорят, что замена параметра t = f(r), а т Ь, допустима, если:

а) найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] точками a i , ..., ап- 1, что функ­ ция t(r) является непрерывно дифференцируемой на каждом из интервалов

(a;-i,a,), г = l,n;

б) t'(r) > 0 на каждом из интервалов (a ;-i,a ;);

в) функция t(r) непрерывна на [а, Ъ], причем t(a) = a, t(b) = (3, r(t(r)) =

= р(т).

Полезно заметить, что при наложенных ограничениях функция t(r) имеет на отрезке [а, Ь] обратную. Обратная замена параметра т = т{Г) также удовлетворяет условиям а)-в).

Кривая Г называется г л а д к о й , если существует параметрическое урав­ нение этой кривой типа ( 1 ) с непрерывно дифференцируемой функцией г {Г), удовлетворяющей условию |r'(t)| > 0 на [от, /3].

При расширении класса допустимых замен параметра (а тем самым при расширении класса параметризаций) могут встретиться такие уравнения гладкой кривой, которые задаются функциями, не имеющими в некоторых точках производной. Например, уравнения

х = т, у = у / 1 - т 2,

и уравнения

* = sint, у = COS t, —2 5$ / 5$ 2 •

определяют одну и ту же гладкую кривую (полуокружность). От второго уравнения к первому можно перейти при помощи допустимой замены па­ раметра t = arcsin т, —1 т 1. Функция Д\ —т 2 не имеет производной при т = ± 1.

В дальнейшем, как правило, уравнение гладкой кривой будем задавать при помощи непрерывно дифференцируемой вектор-функции г (t).

Если интерпретировать параметр t как время, то уравнение (1) за­ дает закон движения материальной точки в пространстве R3. Вектор скорости r'(t) в каждой точке гладкой кривой коллинеарен вектору касательной. Единичный вектор касательной, заданный в некоторой точке гладкой кривой, определяет ориентацию кривой (направление

494Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

Св о й с т в о 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

О Предположим, что совершен переход от уравнения кривой (1) к уравнению р = р(т), а ^ т ^ Ь, при помощи допустимой замены па­ раметра t = t(r), удовлетворяющей условиям а)-в). Делая в интегра­ ле (4) замену переменной t = t(r), получаем, учитывая, что на каждом из интервалов (а,_1 ,а,) функция 1'(т) > 0:

/з

J R(x(t), у it), z(t))\r'(t)\dt =

аь

= jR(x(t(T)), y(t(r)), z(t(T))) t'(r) dr =

После замены параметра можно получить и несобственный ин­ теграл с особыми точками ао,...,ап, но форма его такая же, как и у интеграла (4). Поэтому криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой. •

Св о й с т в о 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой Г, т. е.

j R ( x , y , z ) d s = j R(x, у, z)ds.

О В самом деле, кривую Г можно задать уравнением (3). Делая в интеграле (4) замену переменной г = а + /3 — t, получаем

ла первого рода и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования. •

Особенно простое выражение для криволинейного интеграла пер­ вого рода получается, если в качестве параметра взять переменную

Рис. 50.2

R(x,y,z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линей­ ную“j ^ плотность материальной кривой Г, а криволинейный интеграл

(ж, у , z) ds — как массу этой кривой. / ж »

г

Аналогичным образом можно определить при помощи криволиней­ ных интегралов координаты центра тяжести, осевые и центральные моменты инерции материальных кривых.

По определению осевой момент инерции 1Х есть следующий криволи­ нейный интеграл:

Гa

Определенный интеграл, стоящий в правой части формулы (8), называют криволинейным интегралом второго рода от функции

P (x,y,z ) по кривой Г, символ J Р dx служит обозначением для это-

г

го криволинейного интеграла. В отличие от криволинейного интегра­ ла J (F, dr) интеграл J Р dx зависит от выбора декартовой системы

от способа параметризации кривой.

О Это свойство доказывается точно так же, как и соответствующее свойство для криволинейного интеграла первого рода. •

Св о й с т в о 2. Криволинейный интеграл второго рода при измене­ нии ориентации кривой на противоположную меняет знак, т. е.

|( F ,d r ) = - J (F ,d r).

13

= - | ( F ( r ( r ) ) , r ' ( r ) ) d r = - | ( F , * ) . •

Св о й с т в о 3. Криволинейный интеграл второго рода аддитивен относительно кривой.

О Это свойство доказывается так же, как и для криволинейных ин­ тегралов первого рода. •

В плоском случае выражения (6)-(10) для криволинейных интег­ ралов упрощаются:

j (F, dr) = j Р dx + Qdy =

Пр име р 3. По тем же кривым, что и в примере 2, вычислить

Jxdx + ydy, А = (0, 1 ), В = (1 , 0).

ГА В

АПрименяя формулу (11), получаем

работу. В том случае когда материальная точка движется в постоян­ ном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору 1, |1| = 1, работа силы равна (F ,l) A s , где A s — пройденный точкой путь.

Пусть теперь поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой г = r(t), а ^ t ^ (3.