24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами.

1) Пусть ф-я f(x) интегрируема по a,b и пусть для xa,b верно неравенство: f(x) 0, тогда _a^b f(x)dx 0. Заметим, что для  разбиения {х_к} отрезка a,b при  выборе промежуточных точек _к верно неравенство:S(х_к,_к)0. Покажем, что lim(d→0)S(х_к,_к) =I 0. Предположим противное, т.е., что I<0. Пусть =I и найдем >0 такое, чтобы для  разбиения {х_к} отрезка a,b с диаметром d<, при  выборе промежуточных точек _к выполнялось неравенство: S-I<=I, S<I+I, т.е. S<0. Данное неравенство выполняется для  интегральной суммы, отвечающей произвольному разбиению отр. a,b с диаметром d<. Получили противоречие,  I 0. 2) Пусть на a,b заданы интегрируемые функции f(x) и g(x) и пусть для xa,b верно: g(x)f(x). Тогда _a^b g(x)dx _a^b f(x)dx. Доказательство: Рассмотрим на a,b функцию h(x)= g(x)-f(x), xa,b. Функция h(x) интегрируема по a,b, причем h(x) 0, xa,b.

В силу уже доказанного, _a^b h(x)dx=_a^b (g(x)-f(x))dx0= _a^b g(x)dx-_a^b f(x)dx0, т.е. _a^b g(x)dx _a^b f(x)dx, чтд. 3) Пусть ф-я f(x) непрерывна и неотрицательна на a,b. Если хотя бы водной точке x₀a,b выполняется условие: f(x₀)>0, то >0 такое, что _a^b f(x)dx >0. Доказательство: Пусть f(x₀)=>0. В силу непрерывности f(x) в точке x₀ найдется окрестность U(x₀) точки x₀ такая, что xU(x₀)a,b, выполняется: f(x) /2. [c,d]U(x₀)a,b. Тогда _a^b f(x)dx=_a^с f(x)dx + _с^d f(x)dx + _d^b f(x)dx _с^d f(x)dx_с^d /2dx=/2(d-c)=>0, чтд. 4) Если функция f(x) интегрируема по a,b, то f(x) также интегрируема на a,b и верно неравенство: _a^b f(x)dx _a^b f(x)dx. Доказательство: Заметим, что f(x) интегрируема по a,b, т.к.

g(t)=tнепрерывна на R. Заметим также, что xa,b верно:- f(x) f(x) f(x). Интегрируя данное неравенство по a,b, получим: -_a^b f  dx=-B _a^b fdx=A _a^b f  dx, т.е. A B. Из данного двойного неравенства  неравенство: _a^b fdx  _a^b f  dx, чтд

25. Теорема о среднем. Частный случай теоремы о среднем.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по a,b и пусть g(x) неотрицательная (неположительная) на этом отрезке. Пусть далее M=sup f, m=inf f на a,b. Тогда найдется число , удовлетворяющее неравенству m    M и такое, что будет справедлива формула: _a^b f(x)g(x)dx = _a^b g(x)dx (1). При дополнительном предложении непрерывности f(x) на a,b можно утверждать, что найдется точка a,b такая, что будет верно неравенство: _a^b f(x)g(x)dx = f()_a^b g(x)dx (2). Доказательство: Пусть g(x)0 xa,b. Очевидно, что xa,b верно неравенство: m  f(x)  M (3). Умножая (3) на g(x), получим: mg(x)  f(x)g(x)  Mg(x) (4). Интегрируя (4) по a,b, получим соотношение: m_a^b g(x)dx  _a^b f(x)g(x)dx  M_a^b g(x)dx (5). Рассмотрим возможные случаи: 1) Пусть _a^b g(x)dx=0. В этом случае _a^b f(x)g(x)dx=0 и соотношение (1) имеет вид: 0=0, кот. верно для R, в том числе и [m,M]. 2) _a^b g(x)dx>0. Разделив (5) на _a^b g(x)dx, получим: m  (_a^b f(x)g(x)dx)/_a^b g(x)dx  M. Полагая теперь =(_a^b f(x)g(x)dx)/_a^b g(x)dx, и учитывая, что m    M, получаем требуемое соотношение (1). Если дополнительно положить, что f(x) непрерывна на a,b, то функция f(x) будет принимать  значение промежутка [m,M]. поэтому найдется точка a,b такая, что f()= и потому верно: _a^bf(x)g(x)dx=f()_a^bg(x)dx. Частный случай: g(x)1. Пусть f(x) интегрируема по a,b, и M=sup f, m=inf f на a,b, тогда найдется , m   M, что верно: _a^bf(x)dx=_a^bdx=(b-a)M. Если дополнительно предположить, что f(x) непрерывна на a,b, то найдется точка a,b такая, что _a^bf(x)dx = f()(b-a).