22.Теоремы об интегрируемости сложных функций.

Теорема1:Пусть функция f(х) интегрируема на [a,b] и пусть M и m-ее точные верхние и нижняя грани на этом отрезке. Пусть далее на отр. [m,M] задана функция g(f), удовлетворяющая условию Липшица, т.е.  постоянная С>0 такая, что для t₁,t₂[m,M] выполняется неравенство: g(t₂)-g(t₁)  Сt₂-t₁, тогда сложная ф-я h(х)= g(f(х)) интегрируема на отр. [a,b]. Док-во: Заметим сначала, что функция h(х) ограничена на [a,b]. Фиксируем произвольное >0. Поскольку функция f(х) интегрируема на [a,b], найдется такое разбиение {х_к}отр. [a,b], что для сумм Дарбу S, s функции f(х), отвечающих данному разбиению {х_к}, будет верно S-s(/С), С- константа из условия теоремы. Рассмотрим произвольный сегмент [х_к-1, х_к] данного разбиения. Пусть M_к=sup f, m_к=inf f, M_к^*=sup h(х) и m_к^*= inf h(х), k=1,…,n на [х_к-1, х_к]. покажем, что M_к^*-m_к^*С(M_к-m_к), k=1,…,n, где С- постоянная из условия теоремы(постоянная Липшица). Для  x и y из [х_к-1, х_к] верно неравенство:

h(y)-h(х) h(y)-h(х)= g(f(y))- g(f(х)) Сf(y)-f(х) С(M_к-m_к), т.е. h(y)-h(х) С(M_к-m_к). Выберем теперь на [х_к-1, х_к] последовательности точек {y_n}и {х_n} такие, что h(y_n)→M_к^*,h(x_n)→m_к^*, n→. переходя в неравенстве h(y_n)-h(x_n) С(M_к-m_к) пределу при n→ получим, что M_к^*-m_к^* С(M_к-m_к). Поэтому выполняется неравенство: {k=1,…,n}(M_к^*-m_к^*)х_к С{k=1,…,n}(M_к-m_к)х_к(/С)С=. В силу теоремы о необ. и дост. условии интегрируемости на отр. a,b ограниченной на этом отрезке функции, функция h(х) интегрируема на [a,b].чтд.

Липшецевой функцией является, например,  дифференцируемая функция с ограниченной производной. Теорема2:Пусть функция f(х) интегрируема на [a,b] и пусть M=sup f, m=inf f на этом отрезке Пусть далее на [m,M] задана непрерывная функция g(t), тогда сложная h(х)= g(f(х)) также интегрируема на [a,b]. Следствие: Если функция f(х) интегрируема на некотором отрезке [a,b], то для 0 функция f(х)^ также интегрируема на [a,b]. Это  из того, что g(t)=t^ непрерывна на всей числовой прямой.

23. Свойства определенных интегралов (1-5).

1) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на a,b, тогда функции f(x)+g(x), f(x)-g(x) также интегрируемы на a,b и справедливо равенство: _a^b (f(x)+(-)g(x))dx= _a^b f(x)dx+(-) _a^b g(x)dx. Док-во: заметим, что для  разбиения {х_к} отрезка a,b при  выборе промежуточных точек _к на частичных сегментах справедливо равенство: {k=1,…,n}(f(_к)+(-)g(_к))х_к = {k=1,…,n}f(_к)х_к+(-){k=1,…,n}g(_к)х_к = ₁+(-)₂ (1). Поскольку f и g интегрируемы на a,b, то при диаметре d→0  конечный предел у каждой из интегрируемых сумм S₁ и S₂, равный, соответственно, I₁= _a^b f(x)dx и I₂= _a^b g(x)dx. Поэтому, в силу линейных свойств предела ((₁+(-)₂)-(I₁+(-)I₂)₁-I₁+ ₂-I₂ /2+/2=) при d→0  конечный предел правой части (1), равный I₁+(-)I₂, поэтому при d→0  конечный предел и у левой части (1). Поэтому функции f(x)+g(x), f(x)-g(x) и интегрируемы на a,b. Переходя в (1) к пределу при d→0, получим требуемое рав-во: _a^b (f+(-)g)dx= _a^b f(x)dx+(-) _a^b g(x)dx. чтд. 2) Если функция f(x) интегрируема на a,b, то для  постоянной С, функция Cf(x) также интегрируема на a,b и верно равенство _a^b Сf(x)dx=С_a^b f(x)dx. Док-во: заметим, что для  разбиения {х_к} отр-ка a,b при  выборе промежуточных точек _к, справедливо равенство: {k=1,…,n}Сf(_к)х_к=С{k=1,…,n}f(_к)х_к (2). Переходя в (2) к пределу при d→0, в силу линейных свойств предела, получаем требуемое равенство. Следствие: Пусть функции f₁(x),…,f_n(x) интегрируемы на a,b и С₁,…,С_n – произвольные постоянные, тогда функции {k=1,…,n}С_if_i(x) также интегрируемы на a,b и верно равенство:

_a^b({k=1,…,n}С_if_i(x))dx={k=1,…,n}С_i_a^bf_i(x)dx. 3) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a,b, то их произведение также является интегрируемой функцией на этом отрезке Это  из представления: f(x)g(x)= ((f(x)+g(x))²-(f(x)-g(x))²)/4, f+(-)g – интегрируемая функция, (f+(-)g)² - интегрируемая ф-я,  ((f(x)+g(x))²-(f(x)-g(x))²)/4 тоже интегрируемая на a,b ф-я. Док-во: Фиксируем произв. >0. Поскольку f(x) интегрируема на a,b, то найдется разбиения {х_к} сегмента a,b, для сумм Дарбу S, s которого будет выполняться: S-s. Обозначим через {х_к^’} разбиение отр. a,b, получившееся из {х_к} добавлением точек c и d (если они не входят в разбиение до этого). Пусть S^’, s^’ – суммы Дарбу, отвечающие разбиению {х_к^’}.Поскольку S^’ S, s s^’, то S^’-s^’ S-s . Обозначим через {х_к^’’} разбиение отр. c,d, образованное точками разбиения {х_к^’}. Пусть S^’’, s^’’ – суммы Дарбу, отвечающие разбиению {х_к^’’} отрезка c,d. Поскольку каждое неотрицательное слагаемое вида (M_к-m_к)х_к, содержащихся в выражении для S^’’-s^’’, содержатся и в выражении для S^’-s^’, что верно неравенство: S^’’-s^’’ S^’-s^’ . Поэтому f(x) интегрируема на c,d в силу теоремы о необ. и дост. условии интегрируемости ограниченной на отрезке функции. чтд. 4) Положим по определению, что _a^b f(x)dx=0, для  f(x), определенной в точке a. Если a>b, то _a^b f(x)dx = -_b^a f(x)dx. (чертеж) f(₂)(х₂-х₁)= - f(₂)(х₁-х₂)>0  S(_a^b)= -S(_b^a).

5) Если функция f(x) интегрируема на a,c и c,b, то f(x) интегрируема и на a,b, причем справедливо равенство _a^b f(x)dx =_a^c f(x)dx+_c^b f(x)dx (свойство аддитивности интеграла по данному отрезку).

Доказательство: Фиксируем произв. >0. Поскольку f(x) интегрируема на каждом из отрезков a,c и c,b, найдутся разбиения {х_к^’} и {х_к^’’} отрезков a,c и c,b, соответственно, такие, что будут выполняться неравенства: S^’-s^’ /2, S^’’-s^’’ /2, где S^’, s^’ – суммы Дарбу для f(x), отвечающие разбиению {х_к^’}отр. a,c, а S^’’, s^’’ – суммы Дарбу для f(x), отвечающие разбиению {х_к^’’} отр. c,b. Пусть {х_к} - разбиение всего отрезка a,b, образованное точками разбиений {х_к^’} и {х_к^’’}. Пусть S и s – суммы Дарбу для {х_к}, тогда S-s= S^’-s^’+S^’’-s^’’ /2+/2= , т.е. S-s . Поэтому f(x) интегрируема на a,b, в силу теоремы о необ. и дост. услоиии интегрируемости ограниченной на отрезке функции. Пусть теперь {х_к} – произвольное разбиение отрезка a,b, содержащее точку с. При  выборе промежуточных точек _к справедливо равенство: {k=1,…,n}f(_к)х_к= ^’f(_к)х_к+^’’f(_к)х_к (*). В сумму ^’ относим слагаемые, отвечающие частичным сегментам отрезка a,c, а в ^’’ – отр-ку c,b. Переходя в равенстве (*) к пределу при d→0, получим соотношение:

_a^b f(x)dx =_a^c f(x)dx+_c^b f(x)dx (**). Замечание: Формула (**) справедлива и в случае произвольного взаимного распределения точек a,b и c для  ф-и f(x), интегрируемой в каждом из 2-х меньших промежутков, составляющих больший, не исключается и случай совпадения точек.