18. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции (в терминах сумм Дарбу).

Т-ма2. Для того чтобы ограниченная на [a,b] ф-я f(x) была интегрируемма на этом отрезке, н.и.д. для  >0 нашлось такое разбиение {x_k} [a,b], для которого выполняется S-s<. Док-во: 1) Н. была установлена при док-ве Т-мы1. Т. к. было показано, что если f(x) интегрируема на [a,b], то для  >0  >0: для сумм Дарбу S, s  разбиения {x_k} [a,b] с диам. d< будет выполняться: S-s<. 2) Д. Фиксируем произвольное >0 и найдем разбиение {x_k} [a,b] такое, что для его сумм Дарбу. выполнялось: S-s<. Т. к. верно неравенство: sI_-I⁺S, то выполняется неравенство: 0I⁺-I_-S-s<, 0I⁺-I_-<. В силу произвольности >0, получаем, что I_-=I⁺, в силу Т-мы1 функция f(x) интегрируема на [a,b].

19. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

Функция, непрерывная на [a,b], интегрируема на этом отрезке. Доказательство: 1) Т. к. f(x) непрерывна на [a,b], то в силу т. Кантора эта функция равномерно непрерывна на [a,b]; фиксируем произвольное >0 и найдем >0 такое, что для  2-х (.)  и  [a,b], удовлетворяющих условию -< выполнялось f()-f()</(b-a). 2) Рассмотрим теперь произвольное разбиение {x_k} с диам. d<, тогда колебание функции на каждом частном сегменте данного разбиения будет < чем /(b-a). Действительно, в силу 2-ой т. Вейерштрасса, на каждом частном сегменте [x_k-1,x_k], k=1,...,n найдутся (.) и , k=1,...,n такие, что точная верхняя грань функии M=sup_{[x(k-1),x(k)]} f=f(_k), а нижняя грань достигается в m=inf_{[x(k-1),x(k)]} f =f(_k), k=1,...,n. Т. к. -x_kd<, k=1,...,n, M_k-m_k</(b-a),=> S-s=_{(k=1, k=n)}(M_k-m_k)x_k<_{(k=1, k=n)}x_k/(b-a)=(b-a)/(b-a)=. В силу Теоремы2 f(x) интегрируема на [a,b] чтд. Замечание. Условие S-s< можно записать в виде: _{(k=1, k=n)}(M_k-m_k)x_k< или _{(k=1, k=n)}_kx_k<, k=1,...,n.

20. Интегрируемость монотонной на отрезке функции.

Функция f(x), монотонная на [a,b], интегрируема на этом отрезке. Доказательство: 1) Рассмотрим случай возрастающей функции. Заметим, что, если f(x)=const на [a,b], то f(x) интегрируема на [a,b]. Пусть теперь f(x)const на [a,b], тогда f(b)-f(a)>0. Фиксируем произвольное >0 и =/f(b)-f(a). Фиксируем произвольное разбиение {x_k} [a,b] с диам. d<. Пусть M_k=sup_{[x(k-1),x(k)]} f; m_k=inf_{[x(k-1),x(k)]} f, k=1,...,n. Для возрастающей функции M_k=f(x_k)=m_k+1; k=1,..,n-1; M_n=f(b), m₁=f(a),=> S-s=_{(k=1, k=n)}(M_k-m_k)x_k< _{(k=1, k=n)}(M_k-m_k)={(M₁-m₁)+(M₂-m₂)+…+(M_n-m_n)}={(M_n-m₁)}= {(M_n-m₁)}/(f(b)-f(a))=. Т. о. S-s<, в силу Т-мы2 f(x) интегрируема на [a,b].

21. Теорема об интегрируемости некоторых разрывных функций и следствие из нее. Определение кусочно-непрерывной функции ее интегрируемость. Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечное число точек разрыва.

Будем говорить, что (.) х покрыта некоторым интервалом, если (.) х  данному интервалу. Теорема: Пусть функция f(х) определена и ограничена на отрезке a, b. если для >0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все  разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин <, чем , то функция f(х) интегрируема на отрезке a,b. Доказательство: пусть M=sup f,

m=inf f на a,b. Если M=m, то f(х) постоянна на a, b и поэтому интегрируема на нем. Поэтому, рассматриваем случай, когда M>m. Фиксируем произвольное >0 и покроем все точки разрыва функции f(х) конечным числом интервалов, общая сумма длин которых <, чем /2(M-m). Всегда можно считать, что никакие 2 из этих интервалов не пересекаются и не имеют общих граничных точек: a ][][][] b(это чертеж). Точки a,b, не принадлежащие этим интервалам образуют множество, состоящее из конечного числа не пересекающихся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными и занумеруем их некоторым образом. Функция f(х) непрерывна на этих сегментах, а потому и равномерно непрерывна на каждом из дополнительных сегментов. Поэтому для i-го сегмента  число _i>0 такое, что для  2-х точек: ^’ и ” этого сегмента, удовлетворяющих условию ^’-”<_i, выполняется неравенство: f(^’)-f(”)</2(b-a). Пусть =min_i _i . Произведем теперь измельчение каждого доп. сегмента, разбивая их на частичные отрезки т.о., чтобы диаметр каждого такого разбиения был<, чем . a ][][][] b.

Тогда колебания функции f(х) на каждом получившемся частичном отрезке будет <, чем /2(b-a). Объединяя все разбиения дополнительных сегментов, с указанными интервалами с присоединенными к ним концами, получим некоторое разбиение х_к отрезка a,b. Пусть S, s – суммы Дарбу для этого разбиения. Запишем разность S-s в виде: S-s= {k=1, …, n}(M_к-m_к)х_к, S-s= ^’ (M_к-m_к)х_к,+ ^’’ (M_к-m_к)х_к. В сумму ^’ отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва функции f(х). В сумму ^’’ - отнесены все остальные слагаемые. Оценим эти суммы: 1) Оценим ^’: Поскольку M_к-m_к M-m, к, то ^’ (M_к-m_к)х_к,  ^’ (M-m)х_к= (M-m) ^’ х_к< (M-m) /2(M-m)= /2. 2) Оценим ^’’: Имеем ^’’ (M_к-m_к)х_к</2(b-a)^’’ х_к(/2(b-a))(b-a)= /2. Поэтому S-s< /2+/2=. В силу теоремы о необходимом и достаточном условии интегрируемости на отрезке a,b ограниченной на этом отрезке функции, функция f(х) интегрируема на отрезке a,b. чтд. Def: Функция f(х), определена на отрезке a,b, наз.кусочно-непрерывной на нем, если  такое разбиение х_к этого отрезка, что функция f(х) непрерывна на каждом интервале (х_к-1, х_к), k=1, …, n и  конечный предел f(х_к-1+0)-справа и f(х_к-1-0)-слева, k=1, …, n. Следствие: Всякая ограниченная на отрезке a,b функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва на этом отрезке, в частности кусочно-непрерывна функция интегрируема на этом сегменте. Замечание: Пусть Функция f(х) интегрируема на сегменте [a,b], а g(х) совпадает с f(х) всюду на сегменте [a,b], кроме быть может конечного числа точек, тогда функция g(х) также интегрируема на сегменте на a,b и верно равенство: _a^b g(х)dx= _a^b f(х)dx.