16. Определение пределов сумм Дарбу. Лемма Дарбу.

Число A называется пределом верхних сумм S при  к 0 диаметра. d разбиения {x_k}, если для  >0  d>0: при условии d>  S-A<. Обозначение - A=lim_d0 S. Аналогично определяется предел нижних сумм. Если B - предел при d0 нижних сумм s, то пишут: B=lim_d0 s. Лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу. I+ является пределом верхних сумм S при d0, т. е. I^*=lim_d0 S. Аналогично I_-=lim_d0 s. Доказательство: Рассмотрим случай верхнего интеграла Дарбу I^*: 2 случая: 1) f(x)=c=const на [a,b], в этом случае для  разбиения {x_k} [a,b] верно: S=c(b-a), I+=c(b-a), т. о. lim_d0 S=I⁺, чтд. 2) f(x) не является const на [a,b] и пусть M=sup_[a,b] f, m=inf_[a,b] f; в рассматриваемом случае m<M. Фиксируем произвольное >0; в силу определения верхнего интеграла Дарбу.  разбиение {x_k^*} [a,b], верхняя сумма котороой S^* удовлетворяет неравенству: S^*-I+</2 (1). Пусть l - число (.) разбиения {x_k^*}, не совпадающих с концами [a,b]. Всегда можно считать, что l0.

Рассмотрим теперь произвольное разбиение {x_k} [a,b] с диам. d<=/(2l(M-m)) и пусть S - его верхняя сумма Дарбу. Произведем теперь изменение разбиениея {x_k}, добавив к его (.) l указанных (.) из разбиения {x_k^*}. Обозначим через {x_k} это изменение разбиения {x_k} и пусть S - его верхняя сумма для разбиения {x_k}. В силу Леммы 6 выполняется неравенство: 0S-S(M-m)ld, d<, то 0S-S(M-m)ld<(M-m)l/(2l(M-m))=/2; 0S-S</2 (2). Заметим, что разбиение {x_k} является изм-м и разб-м {x_k^*}, к (.) кот-м добавили (.) разбиения {x_k}, не совпадающие с концами [a,b], в силу Леммы 3 и определения числа I⁺ верно неравенство: I⁺SS^*0S-I⁺ и  в силу (1) S-I⁺</2 (3). (2)+(3): 0S-I⁺M<. Отметим, что данное неравенство выполняется для  разбиения {x_k} [a,b] с диаметром d<, а это означает, что I⁺=lim_d0 S.

17. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции (в терминах интегралов Дарбу).

Т-ма1. Для того чтобы ограниченная на [a,b] функция f(x) была интегрируема на этом отрезке, н.и.д. выполнялось I_-=I⁺. Док-во: 1) Н. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда  I=lim_d0 Sn. Фикс. произвольное >0 и по числу (/4) найдем >0:  {x_k} с диаметром d> при  выборе промежуточных (.) _k выполнялось: I-Sn</4. Фиксируем произвольное разбиение {x_k} [a,b] с диаметром. d< и пусть S, s - его суммы Д. В силу Леммы 2 на каждом из частичных сегментов [x_k-1, x_k], k=1,...,n найдутся _kи _k, k=1,…,n такие, что будут выполнятся неравенства: 0S-S(x_k, _k)</4; 0S(x_k, _k)-S</4. Выберем такие (.) _kи _k, k=1,...,n и зафиксируем. Для построенных интегральных сумм верны неравенства: I-S(x_k, _k)</4; I-S(x_k, _k)</4. Оценим величину S-s, S-s=[S-S(x_k, _k)]+[S (x_k, _k)-I]+[I-S(x_k, _k)]+[S(x_k, _k)-S],, S-s=S-sS-S(x_k, _k)+S(x_k, _k)-I+I-S(x_k, _k)+S(x_k, _k)-S</4+/4+/4+/4=, т. е. S-s<. Т. к. верно неравенство: sI_-I⁺S, то 0I⁺-I_-S-s<, т. е. 0I⁺-I_-<. В силу произвольности >0, получаем, что I_*=I^*.

Замечание. При доказательстве необходимости было показано, что если f(x) интегрируема на [a,b], то для  >0  >0:  разбиения [a,b] с диаметром d< для его сумм Д. S, s будет выполняться неравенство: S-s<. 2) Д. Пусть теперь I_-=I⁺=A, AR. Покажем, что в этом случае  конечный предел для интегральных сумм lim_d0 S(x_k,_k)=A. Фиксируем произвольное >0; т. к. I⁺=lim_d0 S, то найдется ₁>0 для  разбиения {x_k} [a,b] с диам. d>₁ будет верно: S-I⁺<, т. е. S-A< или S<A+. Т. к. I_-=lim_d0 s, то  ₂>0: для  разбиения {x_k} [a,b] с диам. d>₂ будет верно: s-I_-<, т. е. A-s< или A-<s. Пусть =min{₁,₂}, тогда для  разбиения {x_k} [a,b] с диам. d> будет верно: A-<sS<A+ (*). Пусть теперь {x_k} - произвольное разбиение [a,b] с диам. d<, тогда для его сумм Дарбу S, s выполняется (*). Т. к. для  интегральной суммы S(x_k,_k), отвечающей разбиению {x_k} выполняется неравенство: sS(x_k,_k)S, то будет выполняться и неравенство: A-<S(x_k,_k)<A+, т. е. S(x_k,_k)-A<. Последнее неравенство выполняется для  интегральной суммы S(x_k,_k), отвечающей произвольному разбиению {x_k} [a,b] с диам. d<, а это означает, что lim_d0 S(x_k,_k) существует и равен A. чтд.