14. Определение верхних и нижних сумм Дарбу. Леммы 1-3. Следствие из леммы 2.

Пусть на [a,b] задана ограниченная функция f(x) и пусть {x_k} - некоторое разбиение [a,b]; введем обозначение: m_k=inf_{[x(k-1, x(k))]} f; M_k=sup_{[x(k-1, x(k))]} f, k=1,...,n. Опр. Суммы S=_(k=1,…,n)Mkx_k; s=_(k=1,…,n)mkx_k называются соответственно верхней и нижей суммами Дарбу для функции f(x) для данного разбиения {x_k} [a,b]. Лемма1 Пусть сумма Sn - произвольная интегральная сумма, отвечающая данному разбиению {x_k} [a,b], то для  выбора _k верно: sSnS, где s и S соответственно нижняя и верх. суммы Дарбу, отвечающие тому же разбиению. Доказательство: Рассмотрим произвольный сегмент разбиения [x_k-1,x_k], k=1,...,n, в силу определения чисел M_k и m_k для  _k[x_k-1,x_k] верно: m_kf(_k)M_k, => при  выборе промежуточных (.) _k будет выполнено неравенство: m_kf(_k)M_k (4), k=1,…,n. Умножая каждую часть на x_k и суммируя их по k=1,..,n, получим _(k=1,…,n)mkx_k_(k=1,…,n)f(_k)x_k _(k=1,…,n)Mkx_k, т. е. неравенство: s SnS. Лемма2 Пусть {x_k} - произв. фикс. разбиение [a,b],  - произв. положительное число, тогда можно выбрать (.) ξ_k так, чтобы Sn и S удовлетворяющие неравенству: 0S- Sn <; промежуточные (.) _k можно выбрать и таким образом, чтобы для Sn и s выполнялось: 0 Sn -s<. Доказательство: Пусть {x_k} данное разбиение; фикс. произвольное >0 , т. к. M_k=sup_{[x(k-1, x(k))]}f , k=1,...,n, то на каждом из отрезков [x_k-1,x_k] можно выбрать (.) _k так, чтобы выполнялось неравенство: 0M_k-f(_k)</(b-a) (5), k=1,...,n. Умножая каждое из неравенств на x_k и суммируя их по k=1,...,n, получим, что 0_(k=1,…,n)(M_k-

f(_k))x_k<_(k=1,…,n)x_k/(b-a)=(b-a)/(b-a)=  0S-Sn<, аналогично для m_k, т. к. m_k=inf_{[x(k-1, x(k))]} , то на каждом отр-ке [x_k-1, x_k] можно выбрать (.) _k так, чтобы выполнялось неравенство: 0f(_k)-m_k</(b-a) (6) , k=1,...,n. Умножая каждое из неравенств на x_k и суммируя их по k=1,...,n, получим, что 0_(k=1,…,n)( f(_k)-m_k)x_k<_(k=1,…,n)x_k/(b-a) , т. е. 0Sn-s<. Следствие. Для любого фикс. {x_k} [a,b] верно: S=sup_(k) Sn, s=inf_(k) Sn , где точные верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным промеж. (.). Лемма3 При изменении данного разбиения верхняя сумма может только уменьшаться, а нижняя - увеличиваться Доказательство: 1) Рассмотрим случай верх суммы S: пусть {x_k} - некоторое разбиение [a,b] и пусть разбиение {x_k} получено из разбиения {x_k} добавлением только одной новой (.)x. Пусть x (x_i-1,x_i). Пусть S и S - верхние суммы Дарбу для разбиений {x_k} и {x_k} соотв-но. x попала на i-ый частныйый сегмент, заметим, что S получается из S заменой слагаемого M_ix_i на M_i(x-x_i-1)+M_i(x_i-x), где Mi=sup_{[x(i-1), x(i))]} f, Mi=sup_{[x(i-1), x)]} f, Mi=sup_{[x, x(i))]} f Очевидно, что M_iM_i, M_iM_i, Mi(x-x_i-1)+ Mi(x_i-x)M_i(x-x_i-1)+M_i(x_i-x)= Mi(x-x_i-1+ x_i-x)=M_i(x_i-x_i-1)=Mix_i,  SS. Общий случай, когда изменение разбиения производится добавлением нескольких новых (.), сводится к уже рассмотренному. 2) Случай нижних сумм рассматривается аналогично.

15. Лемма 4 о свойствах сумм Дарбу. И следствие из нее. Верхние и нижние интегралы Дарбу Леммы 5 и 6.

Лемма 4 Для 2-х произвольных, и вообще различных разбиений отрезка [a,b] нижняя сумма одного из них не превосходит верхней суммы другого. Доказательство: 1) Пусть {x_k} и {x_k} - 2 произвольных разбиения [a,b], пусть S и s - суммы Дарбу для разбиения { x_k}, S и s - для {x_k}, пусть {x_k} - объединение разбиений (x_k} и {x_k} и пусть S, s - суммы Дарбу. для {x_k}. 2) Очевидно, что sS. 3) В силу леммы3 имеем: SS, SS; ss, ss (т. к. {x_k} - изменение каждого из рассматриваемых разбиений) ssSS, ssSS, чтд. Следствие. Множество верхних сумм данной функции f(x), отвечающих всевозможным разбиениям [a,b], ограничено снизу; множество нижних сумм ограничено сверху. Опр. Верхним интегралом Дарбу от функции f(x) называется число I⁺, равное inf мн-ва верхних сумм {S} данной функции f(x) для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Опр. Нижним интегралом Дарбу от функции f(x) называется число I_-, равное sup мн-ва нижних сумм {s} данной функции f(x) для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Лемма 5 Нижний интеграл Дарбу всегда не превосходит верхнего интеграла Д. I_-I+. Док-во: 1) Фиксируем произвольное разбиение {x_k} [a,b] и пусть s - нижняя сумма Дарбу для данного разбиения, тогда для  верхней суммы Д. S верно:

sS, sinf {s}=I⁺, т. о. доказано, что для  нижней суммы s верно sI+, и sup{s}I+, т. е. I_-I⁺, чтд. Пусть на [a,b] задана ограниченная функция f(x), пусть число M=sup_[a,b] f, m=inf_[a,b] f и пусть {x_k} - произвольное разбиение [a,b], d - его диаметр. Обозначим. через {x_k} разбиение, которое получается из {x_k} путем добавления к нему l произвольных новых (.). Пусть S, s - суммы Дарбу для разбиения {x_k}, S, s - для {x_k}. Для этих обозначений верна. Лемма 6 Для S-S и s-s выполняется неравенства: S-S(M-m)ld, s-s(M-m)ld. Док-во: 1) Рассмотри случай верхних сумм. Будем считать, что изменение разбиения {x_k} происходит только добавлением 1-й новой (.) x. 2) Пусть x(x_i-1, x_i), S-S(M-m)d. Заметим, что S получается из S заменой слагаемого M_ix_i на сумму M_i(x-x_i-1)+M_i(x_i-x), M_i=sup_{[x(i-1), x(i)]} f, M_i=sup_{[x(i-1), x]} f, M_i=sup_{[x, x(i)]} f. Оценим разность S-S; S-S=M_ix_i-( M_i(x-x_i-1)+M_i(x_i-x))Mx_i-(m(x-x_i-1)+m(x_i-x))=Mx_i-m(x_i-x_i-1)=Mx_i-mx_i=(M-m)x_i(M-m)d (т. к. M_iM, mm_i=inf_{[x(i-1), x]} fsup_{[x(i-1), x]} f=M_i; mm_i=inf_{[x, x(i)]} fsup_{[x, x(i)]} f=M_i). Общий случай, когда изменение разбиения {x_k} происходит добавлением l новых (.), сводится к уже рассмотренному. Случай нижних сумм рассм. аналогично.