8. Подстановки Эйлера.

Рассмотрим интеграл вида: ∫R(x,(a*x²+b*x+c))dx (1). R(-//-) – рациональная функция; a,b,cR. Подстановка Эйлера: 1) a*x²+b*x+c, D<0, a>0; t=( a*x²+b*x+c)+(a)*x; x=(t²-c)/(b+2*(a)*t)=(t) – рациональная функция; x(t)=(t); t-(a)*(t)= (a*x²+b*x+c) – рациональная функция. (1) = ∫R((t),t-(a)*(t))*(t)dt=∫R*(t)dt; R*(t) – рациональная функция по t. 2) a*x²+b*x+c имеет различные вещественные корни x₁, x₂ т.е. D>0. В этом случае: a*x²+b*x+c=a*(x-x₁)*(x-x₂); t=(a*x²+b*x+c)/(x-x₁), t(x-x₁)=(a*x²+b*x+c); a*(x-x₁)*(x-x₂)=t²*(x-x₁)²; (a-t²)*x=-x₁*t²+a*x₂; x=(x₁*t²-a*x₂)/(t²-a)=(t) – рациональная функция. x(t)=(t) – рациональная функция; (a*x²+b*x+c)=t*((t)+x₁) – рациональная функция. ∫R(x,(a*x²+b*x+c))dx=∫R((t),t*((t)-x₁))*(t)dt=∫R*(t)dt, R*(t) – рациональная функция по t. 3) c>0 t=(( a*x²+b*x+c)- c)/x x=2*(t(c)-b)/(a-t^2) a*x²+b*x+c=((c)t^2-bt+(c)a)/(a-t^2)

dx==2((c)t^2-bt+(c)a)/(a-t^2)dt

9. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Пример

Выражение вида: x^m(a+b*xⁿ)^pdx; a,bR, a≠0, b≠0; m,n,pQ. Называется биномиальным дифференциалом. Укажем случаи: 1) pZ. Пусть  - наименьшее общее кратное дробей m и n. Пусть m=m/, n=n/. Тогда ∫x^m(a+b*xⁿ)^pdx=∫x^m/(a+b*x^n/)^pdx=∫R(x^1/)dx. Укажем ещё 2 случая интегрирования биномиального дифференциала. Для этого сделаем некоторые преобразования: ∫x^m(a+b*xⁿ)^pdx= \z=xⁿ, x=z^1/n; dx=(1/n)*z^1/n-1dz\ =∫z^m/n*(a+b*z)p*(1/n)*z^1/n-1dz=1/n∫z^(m+1)/n-1*(a+b*z)^pdz=1/n∫z^q*(a+b*z)^pdz. 2) qZ, т.е. (m+1)/nZ; p=/, pZ; 1/n∫z^q*(a+b*z)^/dz=1/n∫R(z,^(a+b*z))dz. 3) p+qZ; (m+1)/n+pZ, p=1/; t=^((a+b*z)/z)=^(b+a*z^-1)=^(b+a*x^-n). В анализе доказывается, что во всех других случаях интегралы от биноминальных дифференциалов не выражаются через элементарные функции.

10. Интегрирование трансцендентных функций.

Интегралы вида: ∫R(sin(x),cos(x))dx. U=tg(x/2); -π<x<π; x=2*arctg(u); dx=2/(1+u²)du; sin(x)=(2*u)/(1+u²); cos(x)=(1-u²)/(1+u²). ∫R(sin(x),cos(x))dx=∫R((2*u)/(1+u²), (1-u²)/(1+u²))* dx=2/(1+u²)du=∫R*du. Интеграл вида: ∫sin^m(x)*cosⁿ(x)dx= \m,nQ; 0<x<π/2; u=sin(x); cos(x)=(1-sin²(x))=(1-u²)^1/2; du=cos(x)dxdx=(1-u²)^1/2du\ =∫sin^m(x)*cosⁿ(x)dx=∫u^m*(1-u²)^n/2*(1-u²)^-1/2du=∫u^m*(1-u²)^(n-1)/2du. Если m,nZ, то рассматриваемый интеграл имеет вид: ∫R(sin(x),cos(x))dx, u=tg(x). Укажем ещё некоторые подстановки: 1) m – нечёт-е. m=2*k+1; kZ; u=cos(x); ∫sin^2*k+1(x)*cosⁿ(x)d(cos(x))=-∫(1-u²)^k*uⁿdu. 2) n=2*k+1; kZ; u=sin(x) – аналогично. 3) m=2*k+1, n=2*i+1; k,iZ; u=cos(2*x); ∫sin^2*k+1(x)*cos^2*i+1(x)dx=∫sin^2*k(x)*cos^2*i(x)*sin(x)*cos(x)dx=1/2∫((1-cos(2*x))/2)^k*((1+cos(2*x))/2)ⁱ*sin(2*x)dx=(-1)/2^2+k+i∫(1-cos(2*x))^k*(1+cos(2*x))ⁱd(cos(2*x)). 4) Если n и m – чётные или одно из них =0, то с помощью формул sin²(x)=(1-cos(2*x))/2; cos²(x)=(1+cos(2*x))/2. Интегралы вида: ∫sin(α*x)*cos(β*x)dx, ∫sin(α*x)*sin(β*x)dx, ∫cos(α*x)*cos(β*x)dx. Для вычисления этих интегралов нужно записать подъинтегральную функцию в виде полусуммы или полуразности соответствующих тригонометрических функций.

11. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляемые с помощью интегрирования по частям. Неберущиеся интегралы.

1) ∫e^xsinxdx, 2) ∫e^xcosxdx, 3) ∫xⁿcosxdx, 4) ∫xⁿsinxdx, 5) ∫xⁿe^xdx, 6) ∫xⁿarcsinxdx, 7) ∫xⁿarccosxdx, 8) ∫xⁿarctgxdx, 9) ∫xⁿarcctgxdx, 10) ∫xⁿlnxdx, nZ, n0. 1) ∫e^xsinxdx=∫e^xd(-cosx/)=-1/e^xcosx+1/∫cosxd(e^x)=-1/e^xcosx+/∫e^xcosxdx=)=-1/e^xcosx+/∫e^xd(sinx/)=-1/e^xcosx+(/²)e^xsinx-(/²)∫sinxd(e^x)=((sinx-cosx)/²)e^x-(²/²)∫e^xsinxdx; J=∫e^xsinxdx; (1+²/²)J=((sinx-cosx)/²)e^x+C(²+²)/²J=((sinx-cosx)/(²+²))e^x+C=∫e^xsinxdx. 2) Аналогично. В 3) - 5) U=xⁿ; dV=sinxdx, dV=cosxdx; dV=e^xdx. ∫xⁿcosxdx=∫xⁿd(sinx/)=(1/)xⁿsinx-(1/)∫sinxd(xⁿ)=(1/)xⁿsinx-(n/)∫sinx x^n-1dx и т. д. В 6) – 10) dV=xⁿdx; U=arcsinx,…, arcctgx. Это позволяет избавиться от трансцендентных функций под знаком интеграла

Существуют интегралы от элементарных функций, которые сами через элементарные функции не выражаются, такие интегралы - неберущиеся. ∫(sinx/xⁿ)dx, ∫(cosx/xⁿ)dx, ∫(e^x/xⁿ)dx, ∫(e^-xx/xⁿ)dx.Интегрируя по частям первые 3 интеграла, можно выразить через интегралы: ∫(sinx/x)dx, ∫(cosx/x)dx, ∫(e^x/x)dx . Последний интеграл заменой y=e^x; x=lny можно привести к виду: ∫(e^x/x)dx=∫((y/lny)/(1/y))dy=∫dy/lny. ∫(sinx/x)dx=six – интегральный sin, ∫(cosx/x)dx=cix – интегральный cos, ∫dx/lnx=lix – интегральный ln.