42. Теорема Римана.

?????????????????????

43. Умножение рядов. Теорема Коши.

У множение рядов. Пусть даны 2-а сход ряда : (А) с суммой А А=Σ_{n=1,∞}a_n (А) и (В) с суммой В: В=Σ_{n=1,∞}b_n (В). следуя правилу умножения конечных сумм, рассмотрим всевозможные парные произведения a_kb_l членов этих рядов. Составим из них бесконечную матрицу.

Из элементов (1) можно многими способами составлять ряды. Можно брать элементы, состоящие на диагоналях и объединять в скобки элементы, стоящие на одной диагонали.

Т.е. a₁b₁+ (a₁b₂+a₂b₁)+( a₁b₃+ a₂b₂+ a₃b₁)+… Можно выписывать элементы (1)по квадратом, объединяя в скобки слагаемые, отличающие один квадрат от другого a₁b₁+ (a₁b₂+ a₂b₂+ a₂b₁)+( a₁b₃+ a₂b₃+ a₃b₃+ a₃b₂+a₃b₁)+… (2)Обозначим ряд за (С). Заметим, что в случае (2), частичные суммы С_n , А_n и В_n рядов (С), (А) и (В) связаны соотношением : С_n=А_n•В_n.

Теорема Коши. Пусть оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно и имеют суммы А и В соответственно, тогда ряд составленный из всевозможных произведений а_kb_l из (1), взятых в произвольном порядке, так же абсолютно сходится и имеет своей суммой произведение сумм АВ.

Доказательство. 1) Ряд Σ{i=1,∞}w_i (W) { w_i} – последовательность всевозможных чисел а_kb_l из (1), занумерованных в произвольном порядке. Покажем, что сходится ряд Σ_{i=1,∞}|w_i| (W^*). Т.е. что ряд (W) сходится абсолютно. Р-м частичную сумму (W_n^*) ряда (W^*). При фикс. n W_n^* состоит из конечного числа слагаемых вида |а_kb_l|. Среди индексов k и l есть наибольший, обозначим его через m, тогда будет верно: W_n^*≤(|а₁|+…+|а_m|)(|b₁|+…+|b_m|),т.о. "nєN верно (W_n^*)≤А^*В^*, где А^*=Σ_{n=1,∞}|а_n|, B^*=Σ_{n=1,∞}|b_n|, отсюда следует, что (W_n^*) сходится, т.е. что ряд (W) сходится абсолютно, найдем его сумму. Абсолютно сход ряд обладает и сочетательным, и переместительным свойствами. Преобразуем ряд (W) к виду, пригодному для суммирование по квадратам (2). Обозначим преобразованный ряд через (С). Очевидно, W=C. Т.к. "nєN выполняется С_n=А_n•В_n, где частичные суммы С_n , А_n и В_n рядов (С), (А) и (В) соответственно, переходя в произведении к пределам получим С=АВ, поэтому W=АВ.чтд.

44.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Ряд знакочередующийся, если члены его поочередно имеют то +, то - знак,, ряд удобно записывать в виде р₁-р₂+р₃-р₄+…+(-1)ⁿр_n+…, р_n≥0, n=1,2,…

Теорема Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда взятые по модулю, образуют убывающую бм последовательность, то этот ряд сходится. Док-во. 1) пусть дан ряд (S), удовлетворяющий условию теоремы р₁-р₂+р₃-р₄+…+(-1)ⁿр_n+… (S). 2) Р-м сначала частичные суммы ряда (S) с четными индексами. 3) запишем сумму S_2n= (р₁-р₂)+(р₃-р₄)+…+(р_2n-1+ р_2n)(1){"скобка ≥0}. 4)из (1) =>{S_2n} явл возрастающей; покажем, что она ограничена сверху. 5) S_2n=р₁-(р₂-р₃)-(р₄-р₅)-…-(р_2n-2-р_2n-1)- р_2n(2) {"скобка ≥0}. 6) из (2) => "nєN: S_2n≤р₁.(3) В силу т. Вейерштрасса последовательность {S_2n} сходится. 7) Переходя в (3) к пределам при n→∞: limS_2n=S≤р₁. 8) Р-м теперь частичные суммы с нечетным индексом , т.к. "nєN: S_2n-1=S_2n+р_2n, р_2n→0 при n→∞, то limS_2n-1=S, т.к. S_2n→S, S_2n-1→S при n→∞, то и S_n→S, т.е. (S)сходится. чтд. При док-ве теоремы было показано, то S_2n – возрастающая последовательность, т.к. S_2n→S при n→∞, то "nєN S_2n≤S, т.к. S_2n≤ р₁, то для суммы S:0≤ S_2n≤р₁. (4) Формула (4)позволяет оценить сумму остатка r_m ряда S после этого члена. Запишем r_m в виде: r_m=(-1)^m(р_m+1-р_m+2+…). Из (4) сумма, стоящая в скобках, неотрицательна и не превосходит числа р_m+1, поэтому |r_m| ≤ p_m+1, |S- S_m|≤р_m. Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы называется рядом Лейбница или лейбницевского типа.

45.Признак Дирихле-Абеля (с тождеством Абеля).

Пусть даны 2е числовые последовательности {u_k}и{v_k}и пусть S_n=Σ_{k=1,n}u_k,nєN,пусть S₀=0. Для "nєN,рєN: Σ_{k=n,n+p}u_kv_k=Σ_{k=n,n+p-1}S_k(v_k-v_k+1)+ S_n+pv_n+p -S_n-1v_n–тож-во Абеля(1).Доказательство: т.к."kєN:u_k=S_k-S_k-1, то Σ_{k=n,n+p}u_kv_k=Σ_{k=n,n+p}(S_k-S_k-1)v_k = Σ_{{k=n, n+p}}S_kv_k-Σ_{k=n,n+p}S_k-1v_k=(m=k-1)=Σ_{k=n,n+p}S_kv_k=Σ_{{m=n-1,n+p-1}} S_mv_m+1= Σ_{k=n,n+p}S_kv_k+ S_n+pv_n+p-Σ_{{m=n-1,n+p-1}} S_mv_m+1-S_n-1v_n=Σ_{k=n,n+p-1}S_k(v_k-v_k+1)+ S_n+pv_n+p- S_n-1v_n. (1) чтд.

Признак Дирихле–Абеля. Дан ряд Σ_{k=1,∞}u_kv_k (2) и выполняются 2 ус-ия:1){v_k}явл убывающей и бм.2)Σ_{k=1,∞}u_k, имеет ограниченную последовательность частичных сумм, тогда ряд сходится.

Док-во. Т.к.{v_k} является убывающей и бм, то"kєNv_k≥0. 2) Условие (2) означает, что $ М>0:"nєN:|Σ_{k=1,n}u_k|≤M. Оценим |Σ_{k=n,n+p}v_ku_k|, по тождеству Абеля, получим Σ_{k=n,n+p}v_ku_k= Σ_{{k=n, n+p-1}}S_к(v_k-v_k+1)+ S_n+pv_n+p-S_n-1v_n(3).(3)=> |Σ_{k=n,n+p}v_ku_k|≤ Σ_{{k=n, n+p-1}}|S_к|(v_k-v_k+1)+|S_n+p|v_n+p+|S_n-1|v_n≤M•Σ_{{k=n, n+p-1}}(v_k-v_k+1) + Mv_n+p+Mv_n=M{( v_n-v_n+1)+( v_n+1-v_n+2)+…+( v_n+p-1-v_n+p)}+ Mv_n+p+Mv_n=M{v_n-v_n+p}+ Mv_n+p+ Mv_n=2Mv_n, т.о. "n,pєN: |Σ_{k=n,n+p}v_ku_k| ≤2Mv_n(4). Фикс ε>0 и найдем NєN:"nєN:v_n<ε/2M, то из (4) =>"n>N,"pєN: |Σ_{k=n,n+p}v_ku_k|≤2Mv_n< 2M•ε/2M<εряд(2)удовлетворяет критерию сходимости Кошисход.