39. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды.

Опр.: сход. ряд (A)=a_n наз. абсолютно сходящимся, если сходится и ряд (|A|)=|a_n| от n=1 до n=, в противном случае ряд (A) наз. условно сход. Теор.: из сходимости ряда (|A|)=|a_n| => сходимость ряда (A)=a_n. Док-во: Пусть ряд (A) абсолютно сходится Будем считать, что в нём есть бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Пусть A*=|a_n| от n=1 до n=. По ряду (А) составим ряды (B) и (C). Ряд (B) сост. из положительных, а (C) – из отрицательных членов ряда (A) взятых с сохранением порядка их следования Покажем, что (B) и (C) сход.  p,qN: B_pA*,C_qA*,т. е. согласно теор. 1 ряды (B) и (C) сход. Пусть A_n – произв. частич.  ряда (A), содержащая p+q членов, тогда A_n= B_p-C_q. Заметим, что p=p(n) и q=q(n)  при n, и т. о. B_pB и C_qC при n. Поэтому при n  конечный lim A_n, причём limA_n=B-C.

40. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Частный случай.

Сочетательное свойство. ряда: Пусть (A)=a_n от n=1 до n= – некоторый сход. ряд. Пусть {n_k} – некоторая строго возрастающая последовательность Будем объединять члены ряда в конечные суммы, сохраняя их порядок следования a₁+...+a_n(1), a_n1+1+...+a_n(2),...,a_n(k-1)+1 +...+ a_n(k),... (1) Теор.: Ряд (A^~), сост. из  вида (1), всегда сход. и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (A). В таком случае говорят, что ряд обладает сочетательным свойством Док-во: Заметим, что посл. {A^~_k} ряда (A^~) есть подпоследовательность {A_n(k)} посл. {A_n} ряда (A).  kN: A^~_k= A_n(k). А т. к. lim A_n(k)=A, то ряд (A^~) сход., причём A^~=A. Если опустив скобки при суммированиии членов в сход. ряде (A^~), получается ряд (A), то его сумма будет та же, что и у ряда (A^~). При нек. услов. завед. можно утверждать, что ряд (A) получается, после опускания скобок в ряде (A^~), будет сходиться. Так будет тогда и только тогда, когда все слагаемые. в (A^~) внутри одних и тех же скобок будут одного знака (знак может меняться от скобки к скобке).

41.Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле.

Переместительное св-во:

Пусть (А) сходящийся и его сумма А; переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый ряд: Σ_{k=1,∞}а_к’= а₁’+а₂’+а₃’+…+а_к’+…(А’), каждый член а_к’ из (А’) отождествляется с определенным членом а_nk исходного ряда, причем, когда индекс к пробегает натур. ряд, индекс n_к так же пробегает натур. ряд без пропусков и повторений.

Теорема Дирихле: Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд (А’), полученный из него перестановкой членов также сходится , причем абсолютно и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд. Док-во: 1 случай: 1) пусть сначала (А) – положительный. Р-м произвольную частную сумму А_к’= а₁’+а₂’+а₃’+…+а_к’+…(А’), пусть а₁’= а_n1, а₂’= а_n2,… а_k’= а_nk. 2) Фиксируем произволное ñєN: больше каждого из чисел n₁,…, n_к, тогда очевидно А_к’≤ А_ñ≤A, т.е. " kєN А_к’≤A (2); 3) из (2) (А) сходится (все част суммы ограничены сверху); 4) Переходя в (2) к lim при k→∞, получим, что А’≤A. 5)Поменяем теперь ролями ряды (А) и (А’),т.е. будем считать, что ряд (А) получается из (А’) перестановкой членов в ряде (А’), повторяя приведенные рассуждения,

получим А≤A’. 6) т.о. А’=A. 2 случай 1) Пусть (А) имеет члены произвольного знака, которые сходятся абсолютно, а это, что сод-ся ряд из

модулей (А^*). Это положительный ряд (А^*)  в силу уже док-го будет сходиться " ряд, получ из (А^*) перестановкой его членов. 2) В частности, будет сходится и ряд ‌‌‌|а₁’|+|а₂’|+|а₃’|+…+|а_к’|+…,а это означает, что(А’) абсолютно сходится (а потому просто сходится). 3) Докажем теперь, что А’=A Ранее было установлено, что А=В-С, где В – есть сумма ряда (В), состоит из положительных членов (А), взятых в порядке их следования, С – сумма (С), состоящего из модулей отрицательных членов (А), взятых в порядке их следования. 4) перестановка членов в (А) вызовет перестановку членов из (В) и (С), однако, в силу уже доказанного сумма этих рядов не изменится, поэтому А’=В-С, т.е. А’=A. чтд. Т.о. абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством