36. Теорема о сходимости положительных числовых рядов (теоремы 2 и 3).

Теор. 2: Пусть (A) и (B) – два положительных ряда. Пусть lima_n/b_n=k при n, k0. Тогда если ряд (В) сход. и k<, то сход. и ряд (A), если ряд (В) расх. и k>0, то расх. и ряд (A), и если 0<k<, то ряды (A) и (B) сход. и расх. одновременно Док-во:

Пусть ряд (B) сходится и k< взяв произвольное число ε>0 для достаточно больших n будем иметь a_n/b_n<k+ε откуда a_n< (k+ε)b_n Одновременно с рядом (В) будет сходиться и ряд  (k+ε)b_n полученный умножением его рядов на (k+ε). Отсюда вытекает сходимость ряда (А). Если же ряд (В) расходится и k>0 то в этом случае обратное отношение b_n/a_n имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходящимся, ибо если бы он сходился, то сходился бы и ряд (В).

Теор. 3: Пусть (A) и (B) – два положительных ряда. Если, начин. с некоторого номера n₀N,  n>n₀: a_n+1/a_n b_n+1/b_n, то из сход. ряда (B) => сход. ряда (A), а из расходимости ряда (A)  расходимость ряда (B). Доказательство:  n>n₀: a_n+1/a_n b_n+1/b_n. Запишем n таких неравенств a₂/a₁ b₂/b₁,..., a_n+1/a_n b_n+1/b_n, перемножим их почленно (a₂/a₁)(a₃/a₂)...(a_n+1/a_n)(b₂/b₁)(b₃/b₂)...(b_n+1/b_n), т. о. a_n+1/a₁ b_n+1/b₁, т. е. a_n+1(a_1/b₁)b_n+1, т. о. В силу теоремы 2 получается, что из сход. ряда (B)  сход. ряда (A), а из расходимости ряда (A) расходимость ряда (B)

37. Признаки сходимости Коши и Даламбера. Признак Раабе. Предельные формы признаков.

Признак. Коши: Пусть c_n=ⁿa_n. Если, начин. с нек. номера n₀N,  n>n₀: c_nq<1, то (A) сход.,: c_n1, то (А) расх. Док-во: Пусть  n>n₀: c_nq<1, тогда  n>n₀: a_nqⁿ. Т. к. ряд (B) с членами b_n=qⁿ cход., то в силу теор. 1 сход. и ряд (A). Пусть теперь  n>n₀: c_n1, тогда  n>n₀: a_n1. Т. к. ряд (B) с членами b_n=1 расх., то в силу теор. 1 расх. и ряд (A). Предельнаяая форма призн.: Пусть  limc_n=c, тогда если c<1, то ряд (A) сход., если c>1, то ряд (A) расх, и если c=1, то призн. ничего не даёт. Док-во: Пусть c>1. Выберем >0 таким, чтобы c+<1. Для дан. >0  n₀N:  n>n₀: c-c_nc+, откуда =>-ет, что  n>n₀:c_nc+=q<1, потому ряд (A) сход. Пусть теперь c>1, тогда  n₀N:  n>n₀: сa_n1, поэтому ряд (A) расх. Приз. Даламбера: Пусть d_n=a_n+1/a_n. Если, начин. с нек. номера n₀N,  n>n₀: d_nq<1, то (A) сход.,: d_n1, то (А) расх. Док-во: Пусть  n>n₀: d_nq<1, тогда  n>n₀: a_n+1/a_nqⁿ⁺¹/qⁿ. Т. к. ряд с (B) с членами b_n=qⁿ сход., то в силу теор. 3 и ряд (A) сход. Пусть теперь  n>n₀: d_n1, тогда  n>n₀: a_n+1/a_n1/1. Т. к. ряд (B) с членами b_n=1 сход., то в силу теор. 3 и ряд (A) расх. Предельная форма призн.: Пусть  limd_n=d, тогда если d<1, то ряд (A) сход., если d>1, то ряд (A) расх, и если d=1, то призн. ничего не даёт. Док-во: аналог. ранее привед. (Предельная форма призн. Коши). Призн. Раабе: Пусть r_n=n(1-a_n+1/a_n). Если, начин. с нек. номера n₀N,  n>n₀: r_np>1, то ряд (A) сход.,: r_n1, то ряд (A) расх. Предельная форма призн.: Пусть  limr_n=r, тогада если r>1, то ряд (A) сход., если r<1, то ряд (A) расх, и если r=1, то призн. ничего не даёт..

38. Интегральный признак Коши-Маклорена.

Теор.: Пусть f(x) положительна и невозрастает всюду при xm, где m фикс. N-числ. Тогда ряды с членами F_n=f(k) от k=m до k= и a_n=_mⁿf(x)dx сходится или расходится одновременно Док-во: Фиксируем произв. km+1. Рассмотрим функцию f(x) на отр. [k-1;k]. Т. к. функция f(x) монотонна на нём, т. е  x[k-1;k]: f(k)f(x)f(k-1), то она интегрируема на нём.Интегрируемая функция f(x) на отр. [k-1;k], получим f(k)_k-1^kf(x)dxf(k-1). Запишем полученное соотношение для всех k{m+1,...,n}: f(m+1)_m^m+1f(x)dxf(m),..., f(n)_n-1ⁿf(x)dxf(n-1). Складывая между собой получ. соотношение f(m+1)+...+f(n)_mⁿf(x)dxf(m)+...+f(n-1), F_n-f(m)a_n F_n-f(n). Посл. {a_n} и {F_n} возрастают и в силу теоремы Вейерштрасса они сходятся, т. к. они ограничены сверх, т. о. ряды с членами a_n и F_n сход. или расходятся одновременно