34. Основные понятия теории числовых рядов. Их свойства. Критерий Коши сходимости числового ряда.

Пусть задан. числовая послед. {a_n}. Опр.: формально сумма членов послед. a₁+...+a_n+... называется числовым рядом, обозначается (A)=a_n от n=1 до n=. Опр.: A_n=a_k от k=1 до k=n называется частичной суммой ряда (A). Опр.: конечный или бесконечный предел при n частичной суммы A_n ряда (A) наз. суммой ряда. Если ряд имеет конечную сумму, то он называется сходящимся, если же сумма ряда не является конечной или не , то ряд наз. расходящийся. Опр.: остатком ряда (A) называется разность его и его частичной суммы A_n. Опр.: если остаток (A_n) ряда (A) сход. после m-ого члена, то его сумма обозн. r_m. Свойства рядов: 1). Если сходится ряд (A), то и сходится любой из его остатков Док-во: пусть ряд (A) сход., пусть (А_n) – некоторый его остаток Фикс. произв. mN, тогда (А_n)= (A_m+n)-A_m. При n (A_m+n)A, поэтому при n правая часть равенства имеет конечный предел равный A-A_m, а потому и левая часть равенства так же имеет конечный предел при n, при этом А_n=A-A_m 2). Если сход. какой-либо из остатков ряда (А), то ряд (A) тоже сход. Доказательство: пусть (А_n) – некоторый остаток ряда (A), пусть (А_n) сход.

Фикс. произв. mN: m>n, тогда (А_n)=(A_m+n)-A_m, пусть теперь k=m+n, тогда (А_k-m)=(A_k)-A_m, (A_k)= (А_k-m)+А_m. При k прав. часть равен. имеет конечный предел равный A+A_m, поэтому при k лев. часть равенства так же имеет конечный предел, при этом А=A_n+A_m. 3). Если ряд (A) сход., то r_m0, n. Доказательство: lim(r_m)=lim(A-A_m)=A-A=0 при n. 4). Если члены сход. ряда (A) умножить на одно и то же числло c, то его сходимость не нарушится, а его сумма A увеличится в c раз. Док-во:nN: a_ic=ca_i от i=1 до i=n, след limca_i=clima_i= cA при n. 5). 2-а сходящихся ряда (A) и (B) можно почленно сложить и вычесть, причём (С)= a_nb_n от n=1 до n= так же сходится, причём C=A+B. Док-во: nN: C_n=a_ib_i=a_i+b_n= A_n+B_n от i=1 до i=n, т. о. С=limC_n=limA_n+limB_n=A+B при n. 6). N член a_n ряда (A) 0, т. е. lima_n=0 при n. Док-во: при n A_nA, A_n+1A, поэтому a_n= A_n+1-A_n0. Критерий Коши: ряд (A) сходится, если  >0  n₀N:  n>n₀  pN: |A_n+p-A_n|<.

35. Теорема о сходимости положительных числовых рядов. Теорема сравнения для положительных рядов (т-ма 1).

Опр.: ряд (A) называется положительным, если все его члены неотрицательны Теор.: Положительный ряд (A) всегда имеет сумму, она конечна (а ряд сход.), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и она неконечна (а ряд расходящийся) в против. Случае.

Доказательство: В самом деле, сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена, в частности ограничена сверху. Теор.1: Пусть (A) и (B) – два положительных ряда. Если, начин. с некоторого номера n₀, при n>n₀ выполняется неравенство A_nB_n, то из сход. ряда (B) => сход. ряда (A), а из расходимости ряда (A) расходимость ряда (B). Доказательство: для определения будем считать, что  nN a_nb_n. Пусть ряд (В) сходящийся, тогда  L>0: B_nL,   nN: A_nL, т. о. (А) так же сход. Расход. док. аналог.