33.Понятия верхнего и нижнего объёмов. Определение кубируемого тела. Критерий кубируемости. Некоторые классы кубируемых тел. Объём тела вращения.

Пусть F – произв. тело. Пусть {P} – множество всевозможных тел, содержащихся в F, а {Q} – множество всевозможных тел содержащих F. Пусть {(P)} и {(Q)} соотв. множества объёмов. они ограничены соотв. сверху и снизу Опр.: Нижним (верх.) объёмом тела F наз. _*=_*(F)=sup(P)(*=*(F)=inf(Q)). Зам.: если в F не содержащим ни одно тело, то по определению полагают _-=0. Всегда _**. Опр.: тело наз. кубируемым, если _-=+. Зам.: понятие объёма для многоугольных тел совпадает со стар. Теор. (критерий кубируемости): для кубироемости тела необходимо и достаточно  >0  многоугольные тел P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Док-во: аналог. плоск. случаю. Зам.: в формулировке теоремы вместо многоугольных. тел P и Q могут быть взяты произв. кубируемые тела P и Q, удовлетворяющие условию теоремы Классы кубируемых тел: Цилидрическое тело – тело, ограниченное цилиндрическими поверх. с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями перпендикулярными этой оси Теорема: если основанием цилиндрического тела F высот. h является квадрирумая фигура G, то F - кубируемая и (F)=(G)h. Док-во.: фиксируем произвольное >0, и т. к. G – квадр., то  многоугольные фигуры P и Q: PGQ и (Q)-(P)</h. Пусть F_P и F_Q - многоугольные цилиндрические тела соотв. с основаниями P и Q и высотой h.

Очевидно, что F_PFF_Q, причём ( F_P)-( F_Q)=(( P)-(Q))h</hh<, т. о. F – кубир. В силу монот. объёма (P)h( F_P)(F)( F_Q) (Q)h, (P)h(F)(Q)h, (P)h(G)h(Q)h, (F)-(G)h((Q)-(P))h. Т. к. правая часть неравенства можно сделать как угодно малой, то (F)=(G)h. Ступенчат. тело – объединение конечного числа цилиндр. тел., расположенных так, что нижнее основание каждого предыдущего из этих тел находится в одной плоскости с верх. основанием последнего Тело вращения – тело, образованное вращением вокруг некоторой оси криволинейной трапеции Теорема: тело вращения F, образованное. вращением криволинейной трапеции, образ. с помощью функции f(x), x=a, x=b, y=0, вокруг оси Ox кубир. и (F)=_a^bf²(x)dx. Док-во: пусть {x_i}- произв. разбиение отрезка [a;b], m_i=inff(x) и M_i=supf(x) по каждым сегментам [x_i-1;x_i]. Для каждого i построим прямоуг. P_i и Q_i с высотами соответственно m_i и M_i и основ. [x_i-1;x_i]. Пусть P=P_i и Q=Q_i от i=1 до i=n. Пусть F_P и F_Q – ступенчат. тела образованные вращением P и Q. Очевидно, что F_PFF_Q и F_P и F_Q – кубируемы, причём (F_P)=(F_i)= m_ix_i и (F_Q)=(F_i)= M_ix_i от i=1 до i=n. Эти соотношения соответствуют нижним и верхним суммам Дарбу для f²(x), отв. данному разбиению {x_i} отрезка [a;b]. Т. к. f²(x) интегрируема по [a;b], то  >0  разбиение {x_i} отрезка [a;b]: S-s<, т. е. (Q)-(P)<, => F – кубируема. В силу монотонности объёма ( F_P)(F)( F_Q),т. е.  разбиение {x_i} отрезка [a;b]: m(F)M. Переходя к пределам при d0, получаем I_-(F)I+, а т. к. f²(x) интегрируема на [a;b], I= I_-=I+, т. о. (F)=I= _a^bf²(x)dx.