31. Понятие верхней и нижней площадей. Определение квадрируемой фигуры. Критерий квадрируемости фигуры (теорема).

Пусть F – произв. фигур. Пусть {P} – множество всевозможных фигур, содержащихся в F, а {Q} – множество всевозможных фигур содержащих F. Пусть {(P)} и {(Q)} соотв. множества площадей они ограничен соотв. сверху и снизу Опр.: Нижняя (верхняя) площадь фигур. F наз. _*=_*(F)=sup(P) (*=*(F)=inf(Q)). Зам.: если в F нельзя вписать ни одну фигур., то по опр. полагается _*=0. Всегда _**. Опр.: плоской фигурой F называется квадратная фигура (или имеющаяся площадь), если =(F)=_*=*. Зам.: понятие площ. для многоуг. фигур совпад. со стар. Теор. (критерий квадрируемости): для квадрируемости плоских фигур. F необходимо и достаточно, чтобы  >0  многоугольные фигуры P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Доказательство: Необх.: пусть F квадрируема, тогда =_*=*. Фикс. произв. >0 и по определению точной грани числ. множеств  многоугольные фигур. P и Q: PFQ и _*-/2(P) _*, *(Q)*+/2. Из этих соотношений след. -/2<(Q) (P)<+/2, (Q)-(P)< +/2-+/2=. Дост.: пусть  >0  многоугольные фигур. P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Т. к. (P)_**(Q), то 0*-_*(Q)-(P)< и в силу произвольности >0 _*=* => F – квадр. Зам.: в формулировке теоремы вместо многоугольных фигур P и Q могут быть взяты произвольные квадрируемые фигур P и Q, удовлетворяющие условию теоремы

32. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

Опр.: фигура F, ограниченная графиком функции: заданная на [a;b] непрерывная и неотрицательная f(x), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз. криволинейной трапецией Теор.: криволинейной трапецией F является квадрируемая фигура и (F)=_a^bf(x)dx. Доказательство.: пусть {x_i} – произв. разбиение отрезка [a;b], m_i=inf f(x) и M_i=sup f(x) на сегменте [x_i-1;x_i], i{1,...,n}. Для каждого i построим прямоуг. P_i и Q_i с основанием [x_i-1;x_i] и высот. соотв. m_i и М_i. Пусть P=P_i и Q=Q_i от i=1 до i=n. Очевидно, что P и Q – квадрируемые и PFQ. Найдём их площадь (P)=m_ix_i, (Q)=M_ix_i от i=1 до i=n. Т. о. (P) и (Q) соотв. нижним и верхним суммам Дарбу для функции f(x), отвечающей разбиению {x_i} отрезка [a;b]. А т. к. f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b], =>  >0  раз. {x_i} отрезка [a;b]: S-s<, т. е. (Q)-(P)<, => F – квадрируема. В силу монотонности площади (Q)(F)(P), т. о.  разных {x_i} отрезка [a;b]: s(F)S, переходя в этом соотношении к пределам при d0 получаем I_-(F)I+, а т. к. f(x) интегрируема на [a;b], I=I_-=I+, т. о. (F)=I=_a^bf(x)dx.

Пусть на плоскости в полярной системе координат заданна крив. L уравнениями r=r(), [;], r() – непрерывная и неотрицательная на [;]. Опр.: криволинейным сектором называется фигура F ограниченная кривой L и граф. r=, r=. Теорема: криволинейным сект. F является квадрируемая фигура и (F)=1/2_^r²()d. Доказательство: пусть {_i} – произв. разбиение отрезка [;] и r_i=inf(), R_i=sup() на сегменте [_i-1; _i], i{1,...,n}.Постр. лучи _i и для каждой пары _i-1, _i простр. обычн. сект. s_i радиуса r_i и S_i радиуса R_i. Пусть P=s_i и Q=S_i. Очевидно, что P и Q – квадр. и PFQ. Вычислим их площади (P)=1/2r_i²_i, (Q)=1/2R_i²_i от i=1 до i=n. Т. о. (P) и (Q) – соотв. нижние и верхние суммы Дарбу. А т. к. r() непрерывна на [;], то она интегрируема на [;],   >0  раз. {_i} отрезка [;]: S-s<, т. е. (Q)-(P)<, => F – квадрируема. В силу монотонности площади (Q)(F)(P), т. о.  раз. {_i} отрезка [;]: s(F)S, переходя в этом соотношении к пределам при d0, получаем I_-(F)I+, а т. к. r() интегрируема на [;], I=I_-=I+, т. о. (F)=I=1/2_^r²()d.