30. Длина дуги кривой, параметризованной с помощью непрерывно дифференцируемых функций. Ф-ла для длины дуги пространственной кривой. Дифференциал дуги.

Теорема. Пусть x=(t) и y=(t) непрерывные функции и имеют непрерывные 1-е производные на [,], тогда L, опред. x(t) и y(t), t, спрямляема и длина ее дуги м/б найдена по формуле: L =_^((^’(t))²+(^’(t))²)^1/2dt (1). Доказательство. 1) Докажем, что L спрямляема. Пусть T={t_i}-произвольное разбиение отрезка[,] и пусть =(T) есть соотв. ломаная, вписанная в кривую L. Тогда  = {i=1,…,n}(((t_i)-(t_i-1))²+((t_i)-(t_i-1))²)^1/2. Применив к функциям (t) и (t) на  из частных сегментов [t_i-1,t_i],i=1,…,n, формулу конечного приращения Лагранжа, получим, что на  интервале (t_i-1,t_i)  точки _i и _i, i=1,…,n,такие, что (t_i)-(t_i-1)=^’(_i)t_i, (t_i)-(t_i-1)=^’(_i)t_i, t_i=t_i-t_i-1, i=1,…,n. Поэтому ={i=1,…,n}((^’(_i))²+(^’(_i))²)^1/2t (2). Функции ^’(t)и ^’(t) непрерывны на [,] и потому ограничены на нем, т.е.  M0 постоянная такая, что ^’(t)M, ^’(t)M t[,]. Поэтому из (2) , что  ={i=1,…,n}(M²+M²)^1/2t =2^1/2M(-), т.е.  =2^1/2M(-). Отсюда  спрямляемость кривой L. 2) Док-м теперь (1). Покажем сначала, что >0 >0 такое, что T={t_i}отр. [,], d<, ломаной =(T), вписанной в L и числа I=_^((^’(t))²+(^’(t))²)^1/2dt верно неравенство:  -I < /2. Для доказательства потребуется неравенство: (a²+c²)^1/2-(a²+b²)^1/2 c-b, a,b,cR. Если c=b=0, то неравенство очевидно. Пусть c+b>0, тогда (a²+c²)^1/2-(a²+b²)^1/2= c²-b²/((a²+c²)^1/2-(a²+b²)^1/2)(c-bc+b)/ (c+b) c-b(c+b)/ (c+b)=c-b. Пусть теперь T={t_i}-произвольное разбиение отрезка [,] и =T соотв. ломаная, вписанная в кривую L. Представив ее длину в виде (2) и пусть (t_i,_i)-интегральная сумма для I,отв. данному разбиению T сегмента [,] с промежуточными точками _I, взятыми из (2),  -(t_i,_i)={i=1,…,n}(((^’(_i))²+(^’(_i))²)^1/2-(^’(_i))²+(^’(_i))²)^1/2)t {i=1,…,n}=((^’(_i))²+(^’(_i))²)^1/2-(^’(_i))²+(^’(_i))²)^1/2 t{i=1,…,n}^’(_i)-^’(_i)t_i{i=1,…,n}(M_i-m_i)t_i=S-s, где M_i и m_i-точная верхняя и нижняя грани для ^’(t) на [t_i-1,t_i],i=1,…,n. А S,s-суммы Дарбу для ^’(t), отвечающие разбиению T={t_i}отр. [,],

((^’(t))²+(^’(t))²)^1/2 и ^’(t) непрерывны и имеют интегралы на [,]. Из определения интеграла , что будут выполнятся одновременно неравенства: 1) S-s< /4; 2) -I</4. Фикс-м >0 и найдем соответствующее >0 такое, чтобы для T={t_i}отр. [,], d< одновременно выполнялись условия 1), 2). Пусть теперь T={t_i}-произвольное разбиение отр [,] с диам. d< и пусть =(T) есть соотв. ломаная, вписанная в кривую L. Представив ее длину в виде(2) и взяв интегральную сумму (t_i,_i) для интеграла I с промежуточными точками _i из формулы (2), получим:  -(t_i,_i)+(t_i,_i)-I  -+-I</4+/4=/2. Данное неравенство верно  ломаной , вписанной в L и отвечающей произвольному разбиению T сегмента [,] с d<. Покажем теперь, что среди таких ломаных  найдется такая ломаная ^’, что 0 L -^’< /2. По определению длины дуги кривой L для выбранного >0 найдется разбиение T^* сегмента [,] такое, что для ломанной ^*, отвечающей соотв. разбиению и вписанной в L, будет верно неравенство: 0 L -^*< /2. Произведем теперь (если это нужно) измельчение разбиения T^* т.о., чтобы диам. новых разбиений T^’ удовлетворял неравенству: d<. Пусть ^’, соотв. разбиению T^’, ломаная, вписанная в кривую L. В силу леммы о длинах 2-х ломаных, ^* ^’ L . Поэтому 0 L -^’ L -^*< /2, т.е. 0 L -^’< /2. Заметим, что ломаная ^’ удовлетворяет и неравенству: ^’-I< /2. Поэтому L-I=(L-^’)+(L-^*) L-^’+^’-I< /2+/2 = ,т.о. L-I<, т.е. (т.к. L и I-числа), то L=I. Замечание. Кривая L будет спрямляемой и в том случае, когда (t) и (t) непрерывны на [,] и имеют ограниченные производные ^’(t) и ^’(t)на этом отр., то при этом сохраняется формула (1). Рассмотрим случай пространственной кривой. Пусть L задается уравнениями: x=(t), y=(t), z=(t) и , , z непрерывны, дифференцируемы на [,], тогда кривая L спрямляема и справедлива формула: L = _^((^’(t))²+(^’(t))²+(^’(t))²)^1/2dt. (доказательство аналогично плоскому случаю). Дифференциал дуги кривой. Пусть кривая L задана уравнениями: x=(t), y=(t),  t . Тогда для перем-ой дуги имеет место формула: L(t)= _^t((^’())²+(^’())²)^1/2d. Отсюда, (dL)²=(d)²+(d)²=(dx)²+(dy)² т.е. (dL)²=(dx_²+(dy)² (т. Пифагора для дуги). Частный случай: пусть L-гр-к функции y=f(x) непрерывна, дифференцируема на [a,b], x=x, y=f(x). В случае пространственной кривой верна формула: (dL)²=(dx)²+(dy)²+(dz)².