27. Вывод основной формулы интегрального вычисления. Понятие обобщенной первообразной. Вывод формулы Ньютона – Лейбница для обобщенной первообразной.

Пусть функция f(x) непрерывна на a,b, (х)=_a^хf(t)dt–первообразная для f(x) на a,b. Пусть F(x)–произвольная первообразная для f(x) на a,b, тогда F(x)=(х)+С, где С–постоянная. Полагая x=a, получим: F(a)=(a)(=0)+С=С, (х)=_a^хf(t)dt=F(x)-F(a). Полагая x=b, получим: _a^bf(t)dt=F(b)-F(a)=F(t)_a^b-двойная подстановка от a до b. Подстановка _a^bf(x)dx=F(b)-F(a) (1) называется подстановкой Ньютона–Лейбница или основной формулой интегрального вычисления. Докажем (1) в более общем случае: Пусть на a,b заданы непрерывные функции f(x) и F(x). Пусть далее на всем отрезке a,b, за исключением быть может конечного числа точек ₁,…,_m, выполняется соотношение: F^’(x)=f(x), тогда справедлива формула (1). Функция F(x) наз. обобщенной первообразной для f(x) на a,b. Покажем: Пусть {х_к}, к=1,…,n, -произвольное разбиение отрезка a,b, содержащее все точки ₁,…,_m. Запишем разность F(b)-F(a) через сумму: F(b)-F(a)={k=1,…,n}(F(x_k)-F(x_k-1)), x₀=а, x_n=b (2). Применив к каждой разности, стоящей в сумме в (2), формулу приращения Лагранжа, получим, что

F(x_k)-F(x_k-1)=F^’(_k^)x_k=f(_k^)x_k, _k^(x_k-1,x_k), к=1,…,n. F(b)-F(a)={k=1,…,n}f(_k^)x_k=(x_k,_k^) (3). Т. к. f(x) интегрируема на a,b, то не имеет значение, какие брать разбиения {х_к} и как выбирать промежуточные точки, в  случае lim(d→0) =_a^bf(x)dx. Переходя к пределу при d→0 в равенстве (3), получим формулу: _a^bf(x)dx=F(b)-F(a).

28. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

Пусть на a,b задана непрерывная функция f(x) и пусть требуется вычислить _a^bf(x)dx. Положим x=(t), и подчиним функцию (t) условиям: 1) (t) определена и непрерывна на некотором отрезке [,], и ее значения не выходят за пределы отрезка a,b, т.е. для t[,] верно неравенство: a(t) b. 2) ()=a, ()=b. 3) (t) имеет производную ^’(t) на [,], тогда справедлива формула: _a^bf(x)dx=_^ f((t))^’(t)dt. Доказательство: Т. к. функции f(x) и f((t))^’(t) непрерывны, то  неопределенный интеграл f(x)dx и f((t))^’(t)dt. Пусть F(x)-первообразная для f(x) на a,b, т.е. F^’(x)=f(x), xa,b. Тогда функция F((t)) будет первообразной для f((t))^’(t) на [,], т.е. F^’((t))=F^’((t))^’(t)=f((t))^’(t). Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим _a^bf(x)dx=F(b)-F(a). _^ f((t))^’(t)dt=F(())-F(())=F(b)-F(a). Замечание: Может случиться, что функция f(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [A,B], который содержит отрезок a,b, т.е. a,b [A,B].В этом случае для функции (t) достаточно потребовать, чтобы значения не выходили за пределы [A,B], т.е. t[,]: A(t)B. Формула интегрирования по частям. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на a,b. _a^bu(x)v^’(x)dx= =u(x)v(x)_a^b-_a^bv(x)u^’(x)dx (1). Доказательство: Заметим, что функция u(x)v(x) является первообразной: (u(x)v(x))^’=v(x)u^’(x)-u(x)v^’(x). Поэтому _a^b(u^’(x)v(x)+u(x)v^’(x))dx=u(x)v(x)_a^b. Отсюда получаем формулу (1). Ее можно также записать в виде: _a^budv = uv_a^b-_a^bvdu.

29. Определение простой плоской кривой и простой замкнутой кривой. Определение параметризуемой кривой. Пространственные кривые. Определение спрямляемой кривой и длины дуги кривой. Лемма. Свойства спрямляемых кривых.

Пусть Oxy координатная плоскость, т.е. множество всех упорядоченных пар (x,y) чисел x и y. Точки этой плоскости будем обозначать символами M(x,y). Числа x, y называется координатами точки M(x,y). Пусть на отрезке [,] заданы 2 непрерывные функции x=(t) и y=(t). Переменную t в дальнейшем будем называть параметром. Def. Множество {M} всех точек M=M(x,y), координаты x и y которых определяются уравнениями: x=(t) и y=(t) (1) при t[,], наз. простой плоской кривой, если различным значениям параметра t[,] отвечают различные точки из [,], кривую будем обозначать L. При этом говорят, что уравнение (1) определяет простую кривую L или, что L параметризуется уравнением (1). Каждая точка множества {M} наз. точкой этой кривой. При этом точки, отвечающие граничным значениям , параметра t, наз. граничными точками простой кривой. Замечание: одна и та же кривая L может быть параметризована различными способами. Целесообразно рассматривать лишь те параметризации кривой, которые получены из данной путем представления t в виде непрерывной строго монотонной функции нового параметра S. Def. Пусть L₁ и L₂– две простые кривые, причем граничные точки кривой L₁ совпадают с граничными точками кривой L₂, а  неграничные – различны. Кривая L, получаемая объединением кривых L₁ и L₂ наз. простой замкнутой кривой (простым контуром). Введем теперь понятие параметризуемой кривой. В дальнейшем будем считать, что множество {t} представляет собой либо сегмент, либо полусегмент, либо интервал, либо числовую прямую, либо открытую или замкнутую полупрямую.

Будем говорить, что конечная или бесконечная замкнутая система сегментов {[t_i-1,t_i]} разбивает множество {t}, если, во-первых, объединение всех этих сегментов представляет собой все множество {t}, и , во-вторых, общими точками  2-х различных сегментов м/б только концы. Пусть на множестве {t} заданы 2 непрерывные функции (t) и (t). Def. Будем говорить, что x=(t) и y=(t) (*) задают параметризованную кривую L , если  такая система сегментов {[t_i-1,t_i]}, кот. разбивает множество {t}, уравнение (*) определяет простую кривую. Между точками кривой можно установить отношение порядка. Пусть точка M₁ соответствует значению параметра t₁, а точка M₂-t₂. Тогда , если t_1<t₂, то говорят, что M₁ предшествует M₂ или что M₂  за M₁, M₁< M₂. Замечание: Кривую L можно различно параметр-ть. Мы будем рассматривать всевозможные параметр-ии L , кот. получаются из  данной путем подстановки параметра в виде непрерывной строго возрастающей функции параметра S, т.е. t = t(S). Только для таких параметрирований сохраняется порядок следования кривой. Пространственные кривые. Для задания пространственных кривых требуется: x=(t), y=(t), z=(t),   t  . Понятие простой пространственной кривой и параметрированной кривой вводятся аналогично плоскому случаю. Спрямляемые кривые. Спрямленная кривая задается уравнениями x=at+b, y=ct+d, a, b, c, dR, a²+c²0, tR и наз. прямой. Пусть заданы M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Коэффициенты a, b, c, d всегда можно выбрать так , что прямая будет проходить через M₁ и M₂. Участок прямой между M1 и M₂ наз. отрезком, соединяющим эти точки. Под ломаной будем понимать объединение конечного числа отрезков прямых др. с другом (эти отрезки наз. звеньями ломаной). Пусть плоская кривая L параметрированна уравнениями x=(t), y=(t),  t  и пусть T={t_i} произвольное разбиение отрезка [,] точками =t₀<t₁<…<t_n=.

Обозначим через M₀,M₁,…,M_n, соотв., точки кривой L, т.е. точки с координатами M₀((t₀),(t₀)), M₁((t₁),(t₁)),…, M_n((t_n),(t_n)). Возникающую при этом ломаную =(T)=M₀M₁…M_n будем наз. ломанной, вписанной в L, отвечающей сегменту [,]. _i -длина звена, _i= M_i-M_i, длина этой ломанной = (((t_i)-(t_i-1))²+((t_i)-(t_i-1))²)^1/2=={i=1,…,n}_i. Def. Кривая L наз. Спрямленной, если множество { } длин, вписанных в кривую L ломанных =(T), отвечающим всевозможным разбиениям T отрезка [,], ограничено. При этом точная верхняя грань множества { } наз. длиной дуги кривой L и обозначается L , т.о. L =sup(на T) {T }, L >0. Лемма. Пусть ₀ -длина ломаной, вписанной в L и отвечающей разбиению T₀ сегмента [,], а длина ₁ - длина вписанной в L и отвечающей разбиению T₁, получается из T₀ добавлением одной или нескольких новых точек, тогда ₀  ₁ . Доказательство: Пусть разбиение T₁ получается из T₀ добавлением одной новой точки t и пусть N=M((t),(t)). Заметим, что ₁ отличается от ₀ только тем, что некоторое звено M_кM_к+1 в ₀ заменяется на 2 звена M_кN и NM_к+1 в ₁. В силу неравенства: M_кM_к+1  M_кN+NM_к+1, поэтому ₀  ₁ . Свойства спрямленных прямых: 1) Если кривая L спрямляема, то L не зависит от способа параметризации ее кривой. 2) Если спрямляемая L разбита с помощью конечного числа точек M₀,M₁,…,M_n на конечное число кривых L_i, то  из этих кривых спрямляема и сумма длин всех кривых L_i равна длине кривой L. 3) Пусть L задается уравнениями x=(t) и y=(t), t. Обозначим через L(t) длину дуги участка L_t кривой L, точки кот. Определена всеми значениями параметра и сегмента [,t]. Функция L(t) является строго возрастающей и непрерывной функцией параметра t. Эту функцию называют переменной дугой на кривой L. 4) Переменная дуга L=L(t) м/б выбрана в качестве параметра. Этот параметр наз. натуральным. Спрямляемость и длина дуги пространственной кривой опр. аналогично, свойства 1)-4) сохраняются.