5.Рациональная дробь. Элементарные дроби и их интегрирование.

Определение: под рациональной дробью понимается отношение 2-х алгебраических многочленов. 1) B/(x-b) dx=B/t dt= \t=x-b\ =BLn|t|+C=BLn|x-b|+C;

2) B/(x-b)^ dx=B/t^ dt = \t=x-b\ =(B/(1-β))*t^1-β+C=-(B/(β-1))*1/(x-b)^β-1+C;

3) (M*x+N)/(x²+p*x+q) dx= \a=(q-p²/4), t=x+p/2\ =(M*(t-p/2)+N)/(t²+a²) dt=M/2(d(t²+a²))/(t²+a²)+(N-(M*p)/2)*(1/a)(d(t/a))/((t/a)²+1)=M/2Ln(x²+p*x+q)+((2*N-M*p)/(2*(q-p²/4))) arctg((x+p/2)/(a-p²/4))+C;

4) (Mx+N)/(x²+p*x+q)^ dx= \t=x+p/2, a=(q-p²/4)\ =M/2(2*t)/(t²+a²)^ dt+(N-(M*p)/2)(dt)/(t²+a²)^; (d(t²+a²)^)/(t²+a²)^=-(1/(-1))*(1/(x²+p*z+q)^-1)+C; (dt)/(t²+a²)^=(1/a²) )(dt)/(t²+a²)^-1-(1/(2*a))t*(2*t)/(t²+a²)^dt=(1/a²)K_-1-(1/(2*a²))t*(d(t²+a²))/(t²+a²)^=I_; I_=t*d(-(1/(-1))*(1/(t²+a²)^-1))=-(1/(-1))*(t/(t²+a²)^-1)+(1/(-1))K_-1; K_=(1/(2*a²*(-1)))*(1/(t²+a²)^-1)+((2*-3)/(2*a²*(-1)))*K_-1 (*). Применяя формулу (*) -1 раз, мы получим выражение для K_ в виде суммы рациональных дробей.

6. Интегрирование рациональных дробей. Правильные дроби. Теорема о разложении

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь с вещественным коэффициентом. Значение которой имеет вид: Q(x)=(x-b₁)^β1 … (x-b_m)^βm * (x²+p₁x+q₁)^1 … (x²+p_nx+q_n)^n; q_i-p_i²/4 > 0. Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простых дробей: P(x)/Q(x) = [B₁/(x-b₁) + … + B_β1/(x-b₁)^β1]⁽¹⁾ + … + [B₁/(x-b_m) + … + B_βm/(x-b_m)^βm]^(m) + … + [(M₁x+N₁)/(x²+p₁x+q₁) + … + (M_1x+N_1)/(x²+p₁x+q₁)^1]⁽¹⁾ + … + [(M₁x+N₁)/(x²+p_nx+q_n) + … + (M_nx+N_n)/(x²+p_nx+q_n)^n]⁽ⁿ⁾; (1) Поскольку  дробь в правой части (1) интегрируется в элементарных функциях, то дробь P(x)/Q(x) тоже интегрируется в элементарных функциях. Утв. Разложение для дроби P(x)/Q(x) записано в виде (1) с неизвестными коэффициентами. Оно  в силу теоремы. Все правильные дроби в правой части (1) приводятся к общему знаменателю и складываются. В результате получается правильная дробь P₁(x)/Q(x). При этом коэффициент в многочлене P₁(x) при различных степенях х будут линейной комбинацией неизвестных коэффициентов. Поскольку дроби P(x)/Q(x) и P₁(x)/Q(x) – совпадают, то P(x)P₁(x). Приравнивая в многочленах P(x) и P₁(x) коэффициенты при одних степенях х, получим систему линейных уравнений. Поскольку разложение вида (1) , то данная система разрешима. Более того, поскольку разложение  для  многочлена P(x), то система разрешима  набора правых частей. Поэтому её определитель ≠ 0 и система имеет ед. решение  разложение вида (1) для дробей P(x)/Q(x) – ед.

7. Многочлены и рациональные функции от нескольких переменных. Рациональные функции.

Выражение вида: P(u₁,…,u_n)=∑{k₁=0;m₁}…∑{k_n=0;m_n}a_k1,k2…_kn*u₁^k1…u_n^kn – называется многочленом от n переменных. Выражение вида: P(u₁,…,u_n)/Q(u₁,…,u_n), где P и Q – многочлены от n переменных, обозначается R(u₁,…,u_n); u₁=f₁(x),…,u_n=f_n(x), т.е. функцией R(f₁(x),…,f_n(x)) – называется функцией от f₁(x),…,f_n(x). ∫R(x,((a*x+b)/(c*x+d))^r1,…,((a*x+b)/(c*x+d))^rn)dx= \a,b,c,dR; r_i=p_i/m, nN, p_iZ, (a*x+b)/(c*x+d))^ri=(t^m)^pi/m=t^pi;t^m=((a*x+b)/(c*x+d)); x=(d*t^m-b)/(a-c*t^m)=(t), (t)=x(t) – рациональная функция;\ =∫R((t),t^pi,…,t^pn)*(t)dt=∫R*(t)dt. R*(t) – рациональная функция от t. ∫R(x,(a*x+b)^r1,…,(a*x+b)^rn)dx; ∫R(x,x^r1,…,x^rn)dx.