Теорема Бернуллі
Якщо
в кожному, з п
незалежних випробуваннях ймовірність
р появи події А постійна, то ймовірність
того, що відхилення частоти від ймовірності
р по модулю не перевищить числа 𝛆
>
0, більше, ніж різниця
,
тобто
Р
(11)
Приклад 4. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.
Розв'язання.
За умовою задачі: p=0.95;
q=0.05;
n=400.
На
підставі (11) дістаємо:
~
70%
Відповідь: Ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 0,95 дорівнює 70%.
Приклад 5. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р=0,85, взяте за абсолютною величиною, на ε=0,001, була б не меншою за 0,99.
Розв'язання. Із умови задачі маємо р=0,85; q=0.15; ε=0.001,
Відповідь: Необхідно провести 12450000 експериментів.
Варіанти завдань
Варіант №1 №1 В партії 10% нестандартних деталей. Навмання відібріно чотири деталі. Скласти біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону з параметром а = 0. Ймовірність попадання випадкової величини інтервал (-0,3; 0,3) дорівнює 0,5. Знайти середнє квадратичне відхилення.
№3 Цех «42» фабрики «К» виготовляє електрочайники. Брак цеху складає 4% від загального обсягу виробів. Контролю підлягає 560 електрочайників. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи не бракованого електрочайника від імовірності 96% не більше ніж на величину 0,03. |
Варіант №2 №1 Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи «герба» при двох підкиданнях монети. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону з параметрами а = 300, σ = 100. Знайти ймовірність попадання в інтервал (200; 400).
№3 Пекарня випікає 25% хліба вищого сорту. Контролю підлягає 300 хлібин. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи хліба вищого сорту від ймовірності 25% не більше ніж на величину 0,01. |
Варіант №3 №1 Дві гральні кості одночасно підкидають два рази. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадіння парної кількості очок на двох гральних костях. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х має закон розподілу N(4; 6). Знайти таке значення σ, щоб Р(0<Х<8) = 0,9906.
№3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстром дорівнює 98%. Контролю підлягає 550 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 0,98 не більше ніж на величину 0,03. |
Варіант №4 №1 Серед 10 однотипних виробів, шість відповідають стандарту, а решта – ні. Навмання береться чотири вироби. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Виріб вважається найвищої якості, якщо відхилення його розмірів від номіналу за абсолютною величиною не перевищує 2,28 мм. Відхилення розміру виробу від номіналу має нормальний закон розподілу зі значенням σ = 2,4 мм, а систематична помилка відсутня. Визначити середне число виробів вищої якості, якщо виготовлено 8 деталей.
№3 При штампувані платівок з пласмаси брак складає 3%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 1000 платівок виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 1%.
|
Варіант №5 №1 З партії 8 деталей, серед яких три браковані, навмання обирають чотири деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа бракованих деталей серед обраних. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону. №2 Випадкова величина Х розподілена по нормальному закону. Математичне подівання і дисперсія цієї величини відповідно дорівнюють 7 і 16. Знайти ймовірність того, що відхилення величини Х від її математичного сподівання по модулю не перевищить двох. №3 Схожість насіння перцю дорівнює 70%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 10000 насіннь відхилення частки насіннь, що проросли від ймовірності того, що зійде кожне з них, не перевищить по модулю 0,01. |
Варіант №6 №1 Дві гральні кості одночасно підкидають два рази. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадіння непарної кількості очок на двох гральних костях. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону. №2 Діаметр деталі, що виготовляє цех є випадковою величиною, що впорядковується нормальному закону з параметрами а = 4,5 см і σ = 0,05 см. Знайти ймовірність того, що розмір діаметра взятої навмання деталі відрізняється від математичного сподівання не більш ніж на 1 мм. №3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстером дорівнює 89%. Контролю підлягає 655 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 0,97 не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №7
№2 Середнє квадратичне відхилення випадкової величини, розподіленої по нормальному закону, дорівнює 2 см, а математичне сподівання дорівнює 16 см. Знайти границі, в яких з ймовіністю 95% слід очікувати значення випадкової величини.
№3 Цех №5 фабрики «им.И» виготовляє електролампочки. Брак цеху складає 5% від загального обсягу виробів. Контролю підлягає 850 електролампочок. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи не бракованої електролампочки від імовірності 98% не більше ніж на величину 0,01. |
Варіант №8 №1 Серед 12 однотипних виробів, сім відповідають стандарту, а решта – ні. Навмання береться три вироби. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону N(0; 0,5). Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х по модулю буде менше одиниці.
№3 Схожість насіння томатів дорівнює 85%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 15 000 насінин відхилення частки насіння, що проросли від ймовірності того, що зійде кожне з них, не перевищить по модулю 0,02.
|
Варіант №9
№2 Випадкова величина Х має закон розподілу N(6; 10). Знайти таке значення σ, щоб Р(0<Х<12) = 0,9906.
№3 Пекарня випікає 35% хліба вищого сорту. Контролю підлягає 500 хлібин. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи хліба вищого сорту від ймовірності 0,35 не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №10 №1 Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи «герба» при трьох підкиданнях монети. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Знайти ймовірність того, що випадкова величина розподілена за нормальним розподілом, з математичним сподіванням 3 і дичперсією – 4, прийме значення в інтервалі (-1; 5).
№3 При штампувані платівок з пласмаси брак складає 4%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 1500 платівок виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 2%. |
Варіант №11 №1 Серед 15 фруктів, 10 стиглі, а решта – ні. Навмання береться три фрукта. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа стиглих фруктів і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону N(30; 10). Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що належить проміжку (10; 50).
№3 Певний цех фабрики виготовляє бочки конкретного виду. Брак цеху складає 7% від загального обсягу виробів. Контролю підлягає 500 бочок. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи не бракованої бочки від імовірності 97% не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №12
№2 Середнє квадратичне відхилення випадкової величини, розподіленої по нормальному закону, дорівнює 3 см, а математичне сподівання дорівнює 20 см. Знайти границі, в яких з ймовіністю 96% слід очікувати значення випадкової величини. №3 Пекарня випікає 30% хліба вищого сорту. Контролю підлягає 200 хлібин. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи хліба вищого сорту від ймовірності 0,3 не більше ніж на величину 0,01. |
Варіант №13 №1 Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи «решки» при трьох підкиданнях монети. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х розподілена по нормальному закону. Математичне подівання і дисперсія цієї величини відповідно дорівнюють 2 і 4. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що належить проміжку (-1; 8).
№3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстером дорівнює 93%. Контролю підлягає 730 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 0,93 не більше ніж на величину 0,03. |
Варіант №14
№2 При виготовлені деякого виробу його вага Х підлягає випадковим коливанням. Стандартна вага виробу складає 30 г, її середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,7, а випадкова величина Х розподілена по нормальному закону. Знайти ймовірність того, що вага навмання обраного виробу знаходиться в межах від 28 до 31 г.
№3 При виготовленні пластикових пляшок брак складає 5%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 1200 пляшок виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 4%. |
Варіант №15 №1 Серед 15 однотипних виробів, 10 стандартні, а решта – ні. Навмання береться чотири вироби. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що не відповідають стандарту і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Діаметр деталі, що виготовляє цех є випадковою величиною, що впорядковується нормальному закону з параметрами М(Х) = 3,79 см і D(X) = 0,0016 см. Знайти ймовірність того, що розмір діаметра взятої навмання деталі відрізняється від математичного сподівання не більш ніж на 1,2 мм.
№3 Схожість насіння картоплі дорівнює 95%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 30 000 картоплин відхилення частки насіння, що проросли від ймовірності того, що проросте кожне з них, не перевищить по модулю 0,04. |
Варіант №16 №1 Серед 20 яблук, 16 червоні, а решта – зелені. Навмання береться три фрукта. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа зелених яблук з трьох обраних і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону N(25; 8). Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що належить проміжку (7; 30).
№3 При виготовленні пластикових пакетів брак складає 2%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 2000 пакетів виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 3%.
|
Варіант №17
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону з параметрами а = 30, σ = 10. Знайти ймовірність попадання в інтервал (20; 40).
№3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстером дорівнює 92%. Контролю підлягає 820 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 0,92 не більше ніж на величину 0,01. |
Варіант №18 №1 В коробці 8% білих мишей,інші - сірі. Навмання з коробки взяли чотири мишки. Скласти біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа білих мишенят серед чотирьох відібраних. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х розподілена по нормальному закону. Математичне подівання і дисперсія цієї величини відповідно дорівнюють 8 і 20. Знайти ймовірність того, що відхилення величини Х від її математичного сподівання по модулю не перевищить двох.
№3 Ковбасний цех виробляє 30% копчених ковбас вищого сорту. Контролю підлягє 100 кг копчених ковбас. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи копчених ковбас вищого сорту від ймовірності 0,3 не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №19
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону з параметром а = 0. Ймовірність попадання випадкової величини інтервал (-0,7; 0,7) дорівнює 0,6. Знайти середнє квадратичне відхилення.
№3 Схожість насіння квасолі дорівнює 92%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 20 000 квасолин відхилення частки насіння, що проросли від ймовірності того, що проросте кожне з них, не перевищить по модулю 0,02. |
Варіант №20 №1 В ящику 25% білих кульок, інші - чорні. Навмання відібріно три кулі. Скласти біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа чорних кульок серед трьох відібраних. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Виріб вважається найвищої якості, якщо відхилення його розмірів від номіналу за абсолютною величиною не перевищує 1,98 мм. Відхилення розміру виробу від номіналу має нормальний закон розподілу зі значенням σ = 1,8 мм, а систематична помилка відсутня. Визначити середне число виробів вищої якості, якщо виготовлено 10 деталей.
№3 Певний цех фабрики виготовляє пластикові ящики конкретного виду. Брак цеху складає 4% від загального обсягу виробів. Контролю підлягає 700 ящиків. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи не бракованого ящика від імовірності 94% не більше ніж на величину 0,03.
|
Варіант №21 №1 Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи «решка» при двох підкиданнях монети. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону N(0; 0,45). Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х по модулю буде менше одиниці.
№3 При виготовленні керамічних тарілок брак складає 8%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 1000 тарілок виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 3%. |
Варіант №22 №1 Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи «решки» при двох підкиданнях монети. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону з параметрами а = 350, σ = 150. Знайти ймовірність попадання в інтервал (180; 420).
№3 Пекарня випікає 25% хліба вищого сорту. Контролю підлягає 500 хлібин. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи хліба вищого сорту від ймовірності 25% не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №23 №1 Дві гральні кості одночасно підкидають два рази. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадіння не парної кількості очок на двох гральних костях. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х має закон розподілу N(2; 7). Знайти таке значення σ, щоб Р(2<Х<5) = 0,9908.
№3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстром дорівнює 97,5%. Контролю підлягає 600 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 97,5% не більше ніж на величину 0,02. |
Варіант №24 №1 Серед 8 однотипних виробів, шість відповідають стандарту, а решта – ні. Навмання береться чотири вироби. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Виріб вважається найвищої якості, якщо відхилення його розмірів від номіналу за абсолютною величиною не перевищує 2,13 мм. Відхилення розміру виробу від номіналу має нормальний закон розподілу зі значенням σ = 2,1 мм, а систематична помилка відсутня. Визначити середнє число виробів вищої якості, якщо виготовлено 9 деталей.
№3 При штампувані платівок з пласмаси брак складає 3,2%. Знайти ймовірність того, що при перевірці партии в 2000 платівок виявится відхлення від встановленого відсотка брака меньше ніж на 1,2%.
|
Варіант №25 №1 З партії 9 деталей, серед яких три браковані, навмання обирають чотири деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа бракованих деталей серед обраних. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону. №2 Випадкова величина Х розподілена по нормальному закону. Математичне подівання і дисперсія цієї величини відповідно дорівнюють 7,1 і 16,33. Знайти ймовірність того, що відхилення величини Х від її математичного сподівання по модулю не перевищить двох. №3 Схожість насіння перцю дорівнює 85,2%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 10000 насіннь відхилення частки насіннь, що проросли від ймовірності того, що зійде кожне з них, не перевищить по модулю 0,015. |
Варіант №26 №1 Дві гральні кості одночасно підкидають два рази. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадіння на двох гральних костях п’яти очок. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону. №2 Діаметр деталі, що виготовляє цех є випадковою величиною, що впорядковується нормальному закону з параметрами а = 3,51 см і σ = 0,043 см. Знайти ймовірність того, що розмір діаметра взятої навмання деталі відрізняється від математичного сподівання не більш ніж на 0,87 мм. №3 Ймовірність виготовити стандартну деталь майстром дорівнює 88,2%. Контролю підлягає 750 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від імовірності 88,2% не більше ніж на величину 0,022. |
Варіант №27
№2 Середнє квадратичне відхилення випадкової величини, розподіленої по нормальному закону, дорівнює 2,35 см, а математичне сподівання дорівнює 16,65 см. Знайти границі, в яких з ймовірністю 93% слід очікувати значення випадкової величини.
№3 Цех №5 фабрики «им.И» виготовляє електролампочки. Брак цеху складає 3,5% від загального обсягу виробів. Контролю підлягає 852 електролампочки. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи не бракованої електролампочки від імовірності 98% не більше ніж на величину 0,012. |
Варіант №28 №1 Серед 11 однотипних виробів, 8 відповідають стандарту, а решта – ні. Навмання береться три вироби. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.
№2 Випадкова величина Х впорядковується нормальному закону N(0; 0,45). Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х по модулю буде менше одиниці.
№3 Схожість насіння томатів дорівнює 93,5%. Знайти ймовірність того, що при сівбі 15 000 насінин відхилення частки насіння, що проросли від ймовірності того, що зійде кожне з них, не перевищить по модулю 0,023.
|
Варіант №29
№2 Випадкова величина Х має закон розподілу N(5; 12). Знайти таке значення σ, щоб Р(1<Х<11) = 0,9906.
№3 Пекарня випікає 55,5% хліба вищого сорту. Контролю підлягає 700 хлібин. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи хліба вищого сорту від ймовірності 55,5% не більше ніж на величину 0,019. |
|