§14. Одномерный эффективный потенциал.
Рассмотрим график одномерного эффективного потенциала:
,
,
Финитное движение – движение, происходящее в ограниченной части пространства.
(1) – инфинитное движение (гипербола).
(
2)
– движение (инфининтное) идет по параболе
E=0.
(3) – движение (финитное) идёт по
эллиптической траектории,
и
- точки поворота.
(4) – движение по окружности.
(5) – падение на центр тяготения.
§15. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:
Рассмотрим функцию
:
перейдем от
к
Здесь
- функция переменных
и
.
-
отсюда находим
.
Это и есть преобразование Лежандра.
Рассмотрим функцию Лагранжа
.
От
и
перейдем к
и
:
- обобщенный импульс
используя уравнение Лагранжа , получим:
Мы перешли к переменным
,
,
.
По определению:
- функция Гамильтона.
Выразим
через
и
.
Из
получаем
.
Запишем
:
Сравнивая два этих выражения, получаем:
Это уравнения движения Гамильтона, их
так же называют каноническими. Их
штук. В отличие от
дифференциальных уравнений Лагранжа,
которые были 2-го порядка, эти
дифференциальных уравнений первого
порядка. Для решения
уравнений надо задать
начальных условий, или
динамических переменных в какой-то
момент времени:
и
.
и
- динамические переменные в методе
Гамильтона.
Обратимся к равенству
.
Величины
и
называют канонически сопряжёнными
величинами (по Гамильтону). Канонические
преобразования в методе Гамильтона
служат для перехода от одних динамических
переменных к другим.
Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.
§16. Фазовое пространство.
В методе Гамильтона рассмотрим
мерное пространство, где по осям
откладываются переменные
,
это и есть фазовое пространство. Точка
в нём – фазовая точка. Здесь каждая
точка описывает определённое динамическое
состояние системы. При движении системы,
фазовая точка описывает траекторию,
называемую фазовой траекторией.
§17. Функция Гамильтона и её свойства.
Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.
,
где
приводят к одним и тем же уравнениям движения.
То же самое справедливо и для функции Гамильтона:
,
где
§18. Функция Гамильтона простейших систем.
Свободная материальная точка:
Ее потенциальная энергия равна нулю,
тогда
Получим
для данного случая:
Используем
,
тогда получим:
Система свободных материальных точек:
Замкнутая система материальных точек
,
где
4. материальных точек во внешнем поле:
5. материальных точек в стационарном внешнем поле:
- зависит только от
Отличие 5-го и 3-го случая заключается в
том, что в 5-м случае
-составляющая
во внешнем поле, она аддитивна -
;
если взаимодействие частиц с внешним
полем одинаково, то
.
6. Замкнутая система двух материальных точек:
в силу однородности и изотропности пространства можем записать:
Задачи
1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ:
