§40. Приближение линейного тока

Что бы рассчитать надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к:

Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем:

Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:

Задачи

1. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.

Решение. H=1/2

2. Показать, что постоянное однородное магнитное поле В можно описывать векторным потенциалом А= .

§41. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла в среде:

Уравнения связи для однородной изотропной среды:

Будем рассматривать не магнитные материалы, т.е. .

Случай квазистационарных полей означает, что поля считаем в одних случаях стационарными, а в других случаях – не стационарными. Для квазистационарных полей:

1) , а отбрасываем, т.к.

2) - оставляем как есть.

Критерий «отбрасываемости»:

Если , то . Слагаемое . В гауссовой системе единиц имеет размерность как .

Составим отношение для сравниваемых слагаемых:

Это есть критерий или условие квазистационарности. И тогда:

Рассмотрим как упрощается :

Запишем закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности:

,

Используем (*), тогда:

, где

Частное решение этого уравнения:

Для проводников с высокой проводимостью мала, , где - период, тогда:

Но поле может и не меняться по гармоническому закону, а может меняться как угодно, тогда - время, за которое поле меняется существенно.

Тогда

, и

Т.е. заряды быстро рассасываются. Значит для квазистационарного случая

В итоге получаем для квазистационарного случая систему уравнений Максвелла:

В квазистационарных полях есть эффекты:

1)Скин-эффект – быстропеременное поле вытесняет на поверхность проводника заряды.

2)Токи Фуко – переменное магнитное поле создаёт электрическое поле.

§42. Условия квазистационарности поля.

1) Мы уже рассмотрели:

2) Характерные параметры линейного проводника характерных параметров поля .

- расстояние, на котором поле существенно меняется за время (если пускаем волну, то - длина волны; если изменение поля гармоническое, то - период).

3) Если длина пробега носителя тока – электрона , то она гораздо меньше параметра поля , т.е. .

4) Если носителями тока являются перемещающиеся электроны, то вводим характеристику , где - длина пробега электрона, а - его скорость. Тогда:

3) и 4) позволяют записывать закон Ома без учёта пространственно-временной дисперсии, в простой форме: .