§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).

Пусть - вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые , следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:

, т.е. и коммутативны:

Будем искать первую вариацию (линейную вариацию по вариацию аргумента).

Введём функционал:

- функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.

Принцип наименьшего действия:

Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:

Найдём :

Тогда:

Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:

Координаты независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости означает, что все коэффициенты при равны нулю. В результате получаем:

,

Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия: и . В результате получим закон движения

§4. Функция Лагранжа и её свойства.

Каждой системе ставится в соответствие функция динамических переменных , называемая функцией Лагранжа.

Свойства:

1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно относительно следующего преобразования:

Надо доказать, что .

Рассмотрим вариацию :

(вариации координат на концах траектории равны нулю).

Итак, вывод: функция Лагранжа может быть задана с точностью до полной производной по времени функции обобщённых координат и времени. Это не влияет на уравнения движения, а следовательно на решение задачи.

2. Энергии(T и U)

a) (N- число материальных точек)

Т – кинетическая энергия, величина аддитивная.

б)

U – потенциальная энергия не аддитивна.

(U – аддитивна, когда нет взаимодействия между точками системы).

§5. Правило суммирования Эйнштейна.

Знак суммы не пишется при дважды встречающемся индексе.

,

тогда:

- для стационарных связей

- однородная функция своих переменных , у неё второй порядок, т.е.:

Соотношение Эйлера для однородной функции:

§6. Функция Лагранжа простейших систем.

Рассмотрим системы с одной степенью свободы.

1. Плоский математический маятник (Рис.3).

- уравнение связи.

Число степеней свободы равно единице (см. §1).

- кинетическая энергия.

U – потенциальная энергия.

U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.

Имеем :

Рассмотрим случай малых колебаний:

, φ – измеряется в радианах.

L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:

Функция Лагранжа:

Уравнение движения:

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:

1)

2)

2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).

k – упругость пружины,

l ₀ – длина пружины в недеформированном состоянии,

l – длина пружины в деформированном состоянии.

По закону Гука (для малых деформаций):

- малые деформации.

По второму закону Ньютона:

,

, , где .

Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:

1)

2)

3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)

(По закону Гука)

В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.

Задачи

1 . Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).

Решение. в качестве координат берём углы φ₁ и φ₂, которые нити l₁ и l₂ образуют с вертикалью. Тогда для точки m₁ имеем:

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x₂, y₂ (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ₁ и φ₂:

после этого получим:

окончательно:

2 . Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m₂, точка которого (с массой m₁ в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

Решение. Вводя координату x точки m₁ и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим: