§43. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла в случае квазистационарности:
Здесь учтено, что
и
.
На два последних уравнения Максвелла
подействуем
:
- уравнение квазистационарного поля
Аналогично получаем для :
Пусть
;
,
тогда:
где
Размерность
- параметр глубины проникновения поля
.
Мы получили уравнение Гельмгольца:
Вид решения для
зависит от формы области, где ищется
решение. Если ищем в полуплоскости, то
- если взять
тогда получим
.
Это даёт граничное условие
Если взять
,
то это даст граничное условие
,
не объясняется ни физически, ни
подтверждается экспериментально. Таким
образом, следует брать
-параметр:
Для поля аналогично:
- решение для полупространства.
Будем учитывать проникновение полей и только на глубину , т.к. дальше их проникновение мало и его можно не учитывать, хотя оно существует.
§44. Функция Грина уравнения Гельмгольца.
-уравнение
Гельмгольца
в правой части этого уравнения – источник
,
в левой – поле
источника
.
,
Для нахождения решения уравнения Гельмгольца вводят функцию Грина, удовлетворяющую условию:
Здесь надо использовать разложение функции Грина в интеграл Фурье:
где
Для -функции :
Подействуем на функцию Грина оператором
:
Используем то , что
,
а следовательно
:
Тогда перепишется в виде:
Равенство этих интегралов приводит к равенству фурье-образов:
Тогда фурье-образ функции Грина:
Теперь надо найти оригинал. Используем для этого теорию вычетов:
Пусть
- угол между
и
.
Обозначим
.
Введём сферические переменные
.
,
тогда
.Следовательно
Используем теорию вычетов. У этого
интеграла есть два полюса:
и
.
Надо использовать при расчёте полюс
,
чтобы получить физически обоснованную
ассимптотику.
П
ереходим
в комплексную плоскость, замыкаем контур
обхода сверху. Используем фиктивный
переход:
Это позволяет получить нужную асимптотику.
- функция Грина уравнения Гельмгольца
Обозначим
§45. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме.
Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников.
Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:
Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:
§46. Волновое уравнение в случае вакуума.
Аналогично уравнение получаем для :
Здесь будем использовать калибровку
поперечных волн (
),
т.к. в вакууме электромагнитные волны
плоские поперечные волны. Тогда:
§47. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
Волновое уравнение для :
Где
- это различные компоненты векторов
.
Волна плоская, т.к. фронт распространения волны представляет собой плоскость.
Имеем систему координат, точку на фронте волны ,
нормаль к фронту волны
.
Тогда уравнение фронта волны (т.е.
плоскости ):
.
Но т.к. эта плоскость движется, то
появляется зависимость от времени.
Если фронт волны- сфера, т.е. волна
сферическая, то уравнение фронт а волны
и:
Учтём обстоятельство, что форма фронта волны налагает на некоторые ограничения. Введём некоторые вспомогательные координаты:
И будем упрощать оператор
.
Можно перейти от (
)
к (
).
Рассчитаем
и
,
где функция
-
сложная.
Рассмотрим компоненту:
.
Тогда:
Следовательно:
Это для случая плоской монохроматической волны. В результате имеем:
Тогда оператор
Итак,
,
тогда
.
где
.
Следовательно,
Тогда
,
где
и
Выясним, как происходит движение фронтов волны для 1 и для 2 случаев:
1 случай:
,
Получили, что фронт волны перемещается. Продифференцируем (*) по времени:
где
- фазовая скорость. Тогда
.
Для среды
,
для вакуума
,
тогда
.
Для вакуума
2 случай:
,
Продифференцируем (**) по времени:
-
фазовая скорость
И мы поучили, что фронт волны распространяется
в обе стороны. Если волна не встречает
препятствий, то решение -
и
,
иначе решение усложняется.