40. Экстремумы функций: определения локального и глобального экстремумов.

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции — «звездочка»

Глобальный минимум — «квадрат».

Локальный максимум — «ромб».

Локальный минимум — «плюс».

Нуль производной без экстремума – «крест».

Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения .

Тогда :

• Локальный максимум, если существует проколотая окрестность .

Т. е. если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё.

• Локальный минимум, если существует проколотая окрестность .

Т. е. если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё.

• Глобальный максимум, если .

• Глобальный минимум, если .

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции нескольких переменных

Пусть задана функция нескольких переменных .

Необходимое условие существования локального экстремума

В точке имеет место экстремум тогда, когда она дифференцируема в данной точке и все частные производные функции в этой точке равны нулю.

Если условия выполняются, то точка называется стационарной точкой.

Достаточное условие существования локального экстремума

Теорема 1. Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная , то функция в точке имеет локальный минимум, если , то локальный максимум.

Если вторая производная функции в точке равна нулю, то необходимо исследовать производные высших порядков в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция одной переменной имеет в точке производные до порядка равными нулю и производная , то тогда точка :

Для анализа поведения функции в точке потребуются некоторые свойства квадратичных функций.

Квадратичная функция (форма):

Если квадратичная форма:

• отрицательно определена , то в точке имеет место максимум.

• положительно определена , то в точке имеет место минимум.

Определитель Гессе (Гессиан):

• Квадратичная форма является отрицательно определенной, если собственные значения матрицы отрицательны. Имеет место максимум.

• Квадратичная форма является положительно определенной, если собственные значения матрицы положительны. Имеет место минимум.

• Если собственные значения матрицы имеют разные знаки, то экстремума в данной точке нет.

Собственные значения можно найти как корни уравнения:

Теорема³. Пусть для функции в окрестности точки выполняются условия:

• Частные производные первого порядка равны нулю: и .

• Частные производные второго порядка в определителе Гессе:

Тогда:

• Если , то функция в точке не имеет экстремума.

• Если , то функция в точке может иметь или не иметь экстремума (нужны дополнительные исследования).

• Если , то функция в точке имеет экстремум.

Пример №1

Исследовать на экстремум функцию .

Вычислим частные производные первого порядка:

Составляем систему:

Находим два решения – две стационарные точки: и .

Находим частные производные второго порядка:

Находим определитель Гессе:

При : . Экстремума нет.

При : . Экстремум есть.

Находим собственные значения и определяем тип экстремума:

Собственные значения положительны. Точка – точка минимума.

Пример №2

Исследовать на экстремум функцию .

Вычислим частные производные первого порядка:

Составляем систему:

Находим девять решений – девять стационарных точек: , , , , , , , , .

Находим частные производные второго порядка:

Находим определитель Гессе:

Находим собственные значения и определяем типы экстремумов:

Подставляя координаты точек в последнее уравнение , получим:

: . Точка максимума.

: . Точки минимума.