1.2. Свободные колебания в одиночном контуре

При отсутствии внешней ЭДС (е = 0) и наличии запаса энергии в реактивных элементах С или L ток в контуре описывается только общим решением (3) уравнения (2). Такие колебания в контуре, при которых однажды подведенная энергия более не пополняется, называются свободными или собственными, в отличие от вынужденных, для получения которых необходимо непрерывное пополнение энергии от внешнего источника.

Свободные колебания могут возникать при определенных соотношениях между L, C и R. Исследование подкоренного двучлена в выражении для частоты (5) показывает, что периодический процесс в контуре (кривая а, рис.2) возможен только при соблюдении условия

(7)

Если же R велико, возникает апериодический разряд (кривая б, рис.2).

В реальных контурах R весьма мало, поэтому для практических расчетов в формуле (5) вторым членом подкоренного выражения, учитывающим влияние R на частоту, пренебрегают и считают частоту свободных колебаний ω_C равной собственной частоте ω₀ контура

(8)

(9)

а период колебаний контура

(10)

Длина волны для закрытого контура имеет только расчетный, но не физический смысл

[м] (11)

где с—скорость распространения электромагнитных колебаний (света).

Из равенства (1) выявляется соотношение между амплитудами тока и напряжения в контуре

Величина

[Ом] (12)

Называется волновым сопротивлением контура. При процессе свободных колебаний

ρ = Х_С = Х_L

Затухание процесса в контуре описывается выражением (4), в котором

(13)

– коэффициент затухания, определяющий убывание амплитуды колебаний за 1 сек.

Изменение амплитуды колебаний за один период характеризуется декрементом затухания

(14)

где А₁ , А₂ , А₃ , А_n амплитуды смежных токов по выражению (3) (или напряжений), разделенных временем в один период (рис. 3)

.

При определении ∆ по осциллограмме амплитуды А₁, А₂, А₃, … А_n измеряются в линейных единицах по сетке экрана осциллографа.

Натуральный декремент логарифма затухания называется логарифмическим декрементом затухания

(15)

Его легко выразить через параметры контура

Величина в π раз меньшая θ, носит название затухание контура

(16)

а величина обратная затуханию, называется добротностью контура

(17)

Принято считать колебательный процесс в контуре прекратившимся, если амплитуда колебаний составляет 0,01 от максимальной величины. Длительность процесса колебаний в этом случае

[мкс], (18)

где N—число полных колебаний.

1.3. Вынужденные колебания в последовательном контуре

Последовательное соединение элементов контура L, C и R с источником внешней ЭДС образует последовательный колебательный контур (рис.1).

Ток в последовательном контуре определяется суммой общего (3) и частного (6) решений уравнения (2). Но выражение (3) представляет затухающие колебания, которые через достаточный промежуток времени (порядка нескольких мкс) исчезнут. Поэтому справедливо считать, что колебательный процесс в контуре под действием внешней ЭДС описывается только частным решением уравнения (2). Возникающие колебания называются вынужденными. Очевидно, что они являются незатухающими и их частота ω равна внешней ЭДС.

Из частного решения

амплитуда тока вынужденных колебаний

(19)

При равенстве реактивных сопротивлений

; X _LC = X _L (20)

в контуре наблюдается резонанс — ток достигает максимума, сопротивление контура становится минимальным и имеет активный характер

Резонансная частота определится выражением

(21)

Изменение частоты  внешней ЭДС (рис.4) приводит к изменению величины и характера сопротивления контура (емкостный характер — при ω < ω₀, ток опережает е ; индуктивный характер — при ω > ω₀ , ток отстает от e).

На основании 1 закона Кирхгофа

Учитывая равенство (20) напряжение на элементах контура при резонансе

.

Заменив ω₀ из (21), принимая во внимание (12) и (17), получаем

(22)

Резонансные свойства колебательных контуров наглядно представляются резонансными кривыми. Для последовательного контура наиболее часто используются зависимости (рис.5а,б,в)

, , , .

Эти зависимости часто строятся не в абсолютном, а в относительном масштабе (рис.5г) — по оси абсцисс откладывается , по оси ординат , , или . Использование относительного масштаба позволяет сравнивать резонансные кривые контуров с разными собственными частотами и добротностью.

Важными параметрами контура являются коэффициент передачи напряжения и полоса пропускания.

Коэффициент передачи напряжения определяется отношением напряжения на одном из реактивных элементов L или С к напряжению источника внешней ЭДС.

На резонансной частоте из выражения (22) коэффициент передачи

(23)

Полоса пропускания — диапазон частот, в пределах которого коэффициент передачи или напряжение на реактивных элементах U_C и U_L составляют не менее от их максимального значения при резонансе. Полоса пропускания 2∆ω (или 2∆ƒ) определяется по резонансным кривым (рис.5,а,г) или по формуле

(24)

Последовательные контуры в радиотехнических устройствах применяются для выбора сигнала нужной частоты (полосы частот) из суммы сигналов различных частот, поступивших на контур, и для получения выигрыша в напряжении от сигнала выделенной частоты.

Избирательные свойства контура характеризуются избирательностью (селективностью)

(25)

при заданной величине расстройки ∆ω = ω₀ ± ω (рис.6). Избирательность Se показывает, во сколько раз сигнал частоты ω ослабляется по сравнению с сигналом резонансной частоты ω_0.