5.14.Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей

П р и м е р. Стреляют три орудия. Пусть события

А₁ = {попадет первое орудие};

А₂ = {попадет второе орудие};

А₃ = {попадет третье орудие}

имеют вероятности P(А₁) = р1 = 0.7, второго P(А₂) = р2 = 0.8, третьего P(А₃) = p3 = 0.9. Вычислить вероятность того, что попадет одно и только одно орудие (безразлично какое).

Решение.

Вероятности противоположных событий равны

= q1 = 1 − 0.7 = 0.3;

= q2 = 1 − 0.8 = 0.2;

= q3 = 1 − 0.9 = 0.1.

Обозначим события

В₁ = = {первое орудие попало, два других промахнулись}

В₂ = = {второе орудие попало, два других промахнулись}

В₃ = = {третье орудие попало, два других промахнулись}

Нас интересует вероятности сложного события В , попадания только одного орудия неважно какого. Событие В равно сумме трёх очевидно попарно несовместных событий В = В₁ + В₂ + В₃, поэтому

Р(В) = Р(В₁ + В₂ + В₃) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃).

Чтобы вычислить вероятности Р(В₁) , Р(В₂) , Р(В₃) нужно воспользоваться теоремой умножения. Напоминаем, что знак умножения между событиями часто не ставится, но подразумевается.

Р(В₁) = = = 0.7 0.2 0.1= 0.014;

Р(В₂) = = = 0.3 0.8 0.1=0.024;

Р(В₃) = = = 0.3 0.2 0.9 = 0.054.

Таким образом

Р(В) = Р(В₁+В2+В3) .

Так как события несовместны, то

Р(В₁+В2+В3) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃) = 0.014 + 0.024 + 0.054 = 0.092 .

Видно, что вероятность попадания в цель только одним орудием есть вероятность небольшая.

Замечание. Из метода решения этой задачи легко усмотреть как можно решить такую задачу: вычислить вероятность того, что попадет два и только два орудия (безразлично какие).

5.15.Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности.

Рассмотрим предыдущий пример

П р и м е р. Стреляют три орудия. Пусть события

А₁ ={ попадет первое орудие }; А₂ = { попадет второе орудие }; А₃ ={ попадет третье орудие } имеют вероятности P(А₁) = р1 = 0.7, второго P(А₂) = р2 = 0.8, третьего P(А₃) = p3 = 0.9. Вычислить вероятность того, что попадет хотя бы одно из орудий.

Интуитивно понятно, что вероятность попадание в цель хотя бы одним из трёх орудий, должно быть значительно выше, вероятности попадания в цель только одним орудием ( безразлично каким).

Решение.

Для вычисления искомой вероятности удобно воспользоваться понятием противоположных событий. События А= { попало хотя бы одно орудие} и В= { ни одно из орудий не попало} очевидно противоположны. (т.е. они несовместны и образуют полную группу . Полная группа это значит может произойти только одно из событий либо А либо В и никое другое не может произойти в результате эксперимента). Воспользуемся сформулированной ранее теоремой. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и В равна 1.

P(A) + P(B) = 1.

Вероятность события В подсчитать легко используя теорему умножения вероятностей.

Вероятности противоположных событий равны

= q1 = 1 − 0.7 = 0.3; = q2 = 1 − 0.8 = 0.2; = q3 = 1 − 0.9 = 0.1.

Тогда вероятность события равна

Тогда вероятность события А равна

Действительно вероятность появления события А весьма высока.

Cформулируем теорему, которой мы воспользовались.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности (в некотором эксперименте) равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Замечание: В частности если все вероятности A_i равны числу p , то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Р(А)=1 − qⁿ

где q = 1 − p.

Пример.

П р и м е р . Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Имеем всего восемь событий

OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP.

Имеем совокупность восьми исходов, которые образуют пространство состояний  данного эксперимента.

Рис.3. Элементарные исходы по подбрасыванию трёх монет.

Найти вероятность события А = { появится хотя бы один орел } с помощью сформулированной теоремы.

Решение

Событие противоположное событию А есть событие В = {не выпадет ни одного орла} = PPP. Вероятность события В равна Р(В) = (1/2)³ = 1/8. Тогда согласно теореме Р(А) = 1-1/8 = 7/8.

Замечание. В этом примере непосредственно по классической формуле можно вычислить вероятность события А, которая равна Р(А) = m/n= 7/8 , где n = 8 – количество всех элементарных исходов, m = 7 − количество исходов благоприятствующих событию А .

Пример. Вероятность попадания орудия в цель при выстреле равна р = 0.8. Какова вероятность хотя бы одного попадания при 4 выстрелах?

Решение.

Вероятность промаха равна q = 1−0.8 =0.2, тогда вероятность хотя бы одного попадания равна Р = 1 − 0.2⁴ = 1 − 0.0016 = 0.9984.